La inferència estadística és una branca de l'estadística que es dedica a fer prediccions o generalitzacions sobre una població a partir d'una mostra de dades. Aquest procés és fonamental en el camp del Machine Learning, ja que permet extreure conclusions i prendre decisions basades en dades.

• Població: Conjunt complet d'elements o observacions que ens interessa estudiar.
• Mostra: Subconjunt de la població que s'utilitza per fer inferències sobre la població.

• Paràmetre: Valor numèric que descriu una característica de la població (per exemple, la mitjana poblacional).
• Estadístic: Valor numèric que descriu una característica de la mostra (per exemple, la mitjana mostral).

• Estimació puntual: Valor únic que s'utilitza per estimar un paràmetre de la població.
• Estimació per interval: Interval de valors dins del qual es creu que es troba el paràmetre poblacional amb una certa probabilitat (per exemple, un interval de confiança).

• Hipòtesi nul·la (H0): Afirmació que no hi ha efecte o diferència.
• Hipòtesi alternativa (H1): Afirmació que hi ha un efecte o diferència.

• Error de tipus I (α): Rebutjar la hipòtesi nul·la quan és certa.
• Error de tipus II (β): No rebutjar la hipòtesi nul·la quan és falsa.

L'estimació puntual consisteix a utilitzar un únic valor de la mostra per estimar un paràmetre de la població. Per exemple, la mitjana mostral (\(\bar{x}\)) es pot utilitzar per estimar la mitjana poblacional (\(\mu\)).

L'estimació per interval proporciona un rang de valors dins del qual es creu que es troba el paràmetre poblacional. Un interval de confiança del 95% per a la mitjana poblacional es calcula com:

\[ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]

on:

• \(\bar{x}\) és la mitjana mostral.
• \(Z_{\alpha/2}\) és el valor crític de la distribució normal estàndard.
• \(\sigma\) és la desviació estàndard poblacional.
• \(n\) és la mida de la mostra.

Les proves d'hipòtesis són procediments per determinar si hi ha suficient evidència en una mostra de dades per rebutjar una hipòtesi nul·la. Els passos típics són:

1. Formular les hipòtesis nul·la (H0) i alternativa (H1).
2. Seleccionar un nivell de significació (\(\alpha\)).
3. Calcular l'estadístic de prova.
4. Determinar el valor crític o el p-valor.
5. Prendre una decisió: rebutjar o no rebutjar H0.

Suposem que volem provar si la mitjana de la població és igual a un valor específic (\(\mu_0\)). Utilitzem una prova z si la desviació estàndard poblacional (\(\sigma\)) és coneguda:

\[ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]

Si \(|Z|\) és més gran que el valor crític \(Z_{\alpha/2}\), rebutgem la hipòtesi nul·la.

Calcula la mitjana mostral i utilitza-la per estimar la mitjana poblacional.

Dades:

\[ {12, 15, 14, 10, 13, 17, 16, 14, 15, 12} \]

Solució:

\[ \bar{x} = \frac{12 + 15 + 14 + 10 + 13 + 17 + 16 + 14 + 15 + 12}{10} = 13.8 \]

Calcula un interval de confiança del 95% per a la mitjana poblacional si \(\sigma = 2\).

Solució:

\[ \bar{x} = 13.8 \] \[ Z_{0.025} = 1.96 \] \[ IC = 13.8 \pm 1.96 \left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right) \] \[ IC = 13.8 \pm 1.24 \] \[ IC = [12.56, 15.04] \]

Prova si la mitjana poblacional és igual a 14 amb un nivell de significació del 5%.

Solució:

\[ H0: \mu = 14 \] \[ H1: \mu \neq 14 \] \[ Z = \frac{13.8 - 14}{2 / \sqrt{10}} = -0.316 \] \[ Z_{0.025} = 1.96 \]

Com \(|-0.316| < 1.96\), no rebutgem H0.

La inferència estadística és una eina poderosa per fer prediccions i prendre decisions basades en dades. Comprendre els conceptes clau i els procediments d'inferència és essencial per aplicar tècniques de Machine Learning de manera efectiva.