El Teorema de Bayes és un dels conceptes fonamentals en la teoria de la probabilitat i té una aplicació crucial en el camp del Machine Learning. Aquest teorema proporciona una manera de calcular la probabilitat d'un esdeveniment basant-se en informació prèvia o condicional.

Abans d'entrar en el teorema de Bayes, és important entendre alguns conceptes bàsics:

• Probabilitat a priori (P(A)): La probabilitat inicial d'un esdeveniment A abans de tenir en compte qualsevol evidència addicional.
• Probabilitat condicional (P(B|A)): La probabilitat de l'esdeveniment B donat que l'esdeveniment A ha ocorregut.
• Probabilitat a posteriori (P(A|B)): La probabilitat de l'esdeveniment A donat que l'esdeveniment B ha ocorregut.
• Probabilitat marginal (P(B)): La probabilitat de l'esdeveniment B independentment de qualsevol altra informació.

El Teorema de Bayes es pot expressar matemàticament de la següent manera:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

On:

• \( P(A|B) \) és la probabilitat a posteriori d'A donat B.
• \( P(B|A) \) és la probabilitat condicional de B donat A.
• \( P(A) \) és la probabilitat a priori d'A.
• \( P(B) \) és la probabilitat marginal de B.

Suposem que estem intentant diagnosticar una malaltia rara. Sabem que:

• La probabilitat a priori de tenir la malaltia (P(Malaltia)) és del 0.1% (0.001).
• La probabilitat de donar positiu en el test si es té la malaltia (P(Positiu|Malaltia)) és del 99% (0.99).
• La probabilitat de donar positiu en el test si no es té la malaltia (P(Positiu|No Malaltia)) és del 5% (0.05).

Volem calcular la probabilitat de tenir la malaltia donat que el test ha sortit positiu (P(Malaltia|Positiu)).

\[ P(Positiu) = P(Positiu|Malaltia) \cdot P(Malaltia) + P(Positiu|No Malaltia) \cdot P(No Malaltia) \]

On:

• \( P(No Malaltia) = 1 - P(Malaltia) = 0.999 \)

\[ P(Positiu) = (0.99 \cdot 0.001) + (0.05 \cdot 0.999) \] \[ P(Positiu) = 0.00099 + 0.04995 \] \[ P(Positiu) = 0.05094 \]

\[ P(Malaltia|Positiu) = \frac{P(Positiu|Malaltia) \cdot P(Malaltia)}{P(Positiu)} \]

\[ P(Malaltia|Positiu) = \frac{0.99 \cdot 0.001}{0.05094} \] \[ P(Malaltia|Positiu) \approx 0.0194 \]

Això significa que, tot i que el test ha sortit positiu, la probabilitat de tenir la malaltia és només del 1.94%.

Suposem que estem treballant en un sistema de detecció de correu brossa (spam). Sabem que:

• La probabilitat a priori que un correu sigui spam (P(Spam)) és del 20% (0.2).
• La probabilitat que un correu contingui la paraula "oferta" donat que és spam (P(Oferta|Spam)) és del 70% (0.7).
• La probabilitat que un correu contingui la paraula "oferta" donat que no és spam (P(Oferta|No Spam)) és del 10% (0.1).

Volem calcular la probabilitat que un correu sigui spam donat que conté la paraula "oferta" (P(Spam|Oferta)).

1. Calcular la probabilitat marginal de contenir la paraula "oferta" (P(Oferta)):

\[ P(Oferta) = P(Oferta|Spam) \cdot P(Spam) + P(Oferta|No Spam) \cdot P(No Spam) \]

On:

• \( P(No Spam) = 1 - P(Spam) = 0.8 \)

\[ P(Oferta) = (0.7 \cdot 0.2) + (0.1 \cdot 0.8) \] \[ P(Oferta) = 0.14 + 0.08 \] \[ P(Oferta) = 0.22 \]

2. Aplicar el Teorema de Bayes:

\[ P(Spam|Oferta) = \frac{P(Oferta|Spam) \cdot P(Spam)}{P(Oferta)} \]

\[ P(Spam|Oferta) = \frac{0.7 \cdot 0.2}{0.22} \] \[ P(Spam|Oferta) \approx 0.636 \]

Això significa que la probabilitat que un correu sigui spam donat que conté la paraula "oferta" és del 63.6%.

El Teorema de Bayes és una eina poderosa per actualitzar les probabilitats a priori basant-se en nova informació. És àmpliament utilitzat en diverses aplicacions de Machine Learning, com la classificació de correu brossa, el diagnòstic mèdic i molts altres camps on la probabilitat condicional és rellevant. Entendre i aplicar correctament aquest teorema pot millorar significativament la precisió dels models predictius.