L'àlgebra lineal és una branca fonamental de les matemàtiques que es centra en l'estudi de vectors, matrius i les seves transformacions. MATLAB és una eina poderosa per treballar amb àlgebra lineal gràcies a les seves funcions integrades i la seva capacitat per manejar grans conjunts de dades de manera eficient. En aquest tema, explorarem com utilitzar MATLAB per realitzar operacions d'àlgebra lineal.

Continguts

Introducció a l'Àlgebra Lineal

L'àlgebra lineal inclou una varietat de conceptes i operacions que són essencials per a moltes aplicacions científiques i d'enginyeria. Alguns dels conceptes clau inclouen:

  • Vectors: Llistes ordenades de nombres que poden representar punts en l'espai.
  • Matrius: Taules rectangulars de nombres que poden representar transformacions lineals.
  • Operacions amb Matrius: Inclouen la suma, la multiplicació, la transposició, etc.
  • Descomposicions de Matrius: Com la descomposició LU, QR, SVD, etc.
  • Sistemes d'Equacions Lineals: Resolució de sistemes d'equacions simultànies.
  • Valors Propis i Vectors Propis: Conceptes fonamentals per a moltes aplicacions en física i enginyeria.

Operacions Bàsiques amb Matrius

Suma i Resta de Matrius

A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];

% Suma de matrius
C = A + B;

% Resta de matrius
D = A - B;

Multiplicació de Matrius

A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];

% Multiplicació de matrius
E = A * B;

Transposició de Matrius

A = [1, 2; 3, 4];

% Transposició de la matriu
A_transpose = A';

Inversa de Matrius

A = [1, 2; 3, 4];

% Inversa de la matriu
A_inv = inv(A);

Descomposicions de Matrius

Descomposició LU

A = [4, 3; 6, 3];

% Descomposició LU
[L, U] = lu(A);

Descomposició QR

A = [1, 2; 3, 4];

% Descomposició QR
[Q, R] = qr(A);

Descomposició en Valors Singulars (SVD)

A = [1, 2; 3, 4];

% Descomposició SVD
[U, S, V] = svd(A);

Sistemes d'Equacions Lineals

Resolució de Sistemes d'Equacions

A = [1, 2; 3, 4];
b = [5; 6];

% Resolució del sistema d'equacions Ax = b
x = A \ b;

Valors Propis i Vectors Propis

Càlcul de Valors Propis i Vectors Propis

A = [1, 2; 3, 4];

% Càlcul de valors propis i vectors propis
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(A);

Exercicis Pràctics

Exercici 1: Operacions Bàsiques amb Matrius

  1. Crea dues matrius \( A \) i \( B \) de dimensions 3x3.
  2. Calcula la suma, resta i producte de \( A \) i \( B \).
  3. Troba la transposició de \( A \).

Solució

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
B = [9, 8, 7; 6, 5, 4; 3, 2, 1];

% Suma
C = A + B;

% Resta
D = A - B;

% Producte
E = A * B;

% Transposició
A_transpose = A';

Exercici 2: Resolució de Sistemes d'Equacions

  1. Resol el sistema d'equacions següent: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5
    4x + 6y = 10 \end{cases} \]

Solució

A = [2, 3; 4, 6];
b = [5; 10];

% Resolució del sistema d'equacions
x = A \ b;

Exercici 3: Valors Propis i Vectors Propis

  1. Troba els valors propis i vectors propis de la matriu següent: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2
    3 & 4 \end{bmatrix} \]

Solució

A = [1, 2; 3, 4];

% Càlcul de valors propis i vectors propis
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(A);

Conclusió

En aquesta secció, hem explorat les operacions bàsiques d'àlgebra lineal en MATLAB, incloent la suma, resta, multiplicació, transposició i inversa de matrius, així com les descomposicions LU, QR i SVD. També hem après a resoldre sistemes d'equacions lineals i a calcular valors propis i vectors propis. Aquests conceptes són fonamentals per a moltes aplicacions en ciència i enginyeria, i MATLAB proporciona eines potents per treballar amb ells de manera eficient.

© Copyright 2024. Tots els drets reservats