En aquest tema, explorarem els conceptes fonamentals del moviment circular, que és essencial per simular objectes que es mouen en trajectòries circulars o corbes dins dels videojocs. Aprendrem sobre la velocitat angular, l'acceleració centrípeta i les forces que actuen en un moviment circular.

La velocitat angular és una mesura de la rapidesa amb què un objecte es mou al llarg d'una trajectòria circular. Es defineix com l'angle recorregut per unitat de temps.

\[ \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \]

On:

• \( \omega \) és la velocitat angular (en radians per segon, rad/s).
• \( \Delta \theta \) és l'angle recorregut (en radians).
• \( \Delta t \) és el temps (en segons).

El període és el temps que triga un objecte a completar una volta completa en una trajectòria circular. La freqüència és el nombre de voltes completes per unitat de temps.

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \] \[ f = \frac{1}{T} \]

On:

• \( T \) és el període (en segons).
• \( f \) és la freqüència (en hertz, Hz).

La velocitat lineal d'un objecte en moviment circular és la velocitat tangencial a la trajectòria circular.

\[ v = r \cdot \omega \]

On:

• \( v \) és la velocitat lineal (en metres per segon, m/s).
• \( r \) és el radi de la trajectòria circular (en metres).
• \( \omega \) és la velocitat angular (en rad/s).

L'acceleració centrípeta és l'acceleració dirigida cap al centre de la trajectòria circular, necessària per mantenir l'objecte en moviment circular.

\[ a_c = \frac{v^2}{r} = r \cdot \omega^2 \]

On:

• \( a_c \) és l'acceleració centrípeta (en metres per segon quadrat, m/s²).
• \( v \) és la velocitat lineal (en m/s).
• \( r \) és el radi de la trajectòria circular (en metres).
• \( \omega \) és la velocitat angular (en rad/s).

La força centrípeta és la força que actua cap al centre de la trajectòria circular, mantenint l'objecte en moviment circular.

\[ F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v^2}{r} = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

On:

• \( F_c \) és la força centrípeta (en newtons, N).
• \( m \) és la massa de l'objecte (en quilograms, kg).
• \( a_c \) és l'acceleració centrípeta (en m/s²).
• \( v \) és la velocitat lineal (en m/s).
• \( r \) és el radi de la trajectòria circular (en metres).
• \( \omega \) és la velocitat angular (en rad/s).

Un objecte es mou en una trajectòria circular amb un radi de 2 metres i completa una volta en 4 segons. Calcula la velocitat angular.

\[ T = 4 , \text{s} \] \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} , \text{rad/s} \]

Un cotxe de joguina de 0.5 kg es mou en una pista circular amb un radi de 1 metre a una velocitat de 2 m/s. Calcula la força centrípeta.

\[ m = 0.5 , \text{kg} \] \[ v = 2 , \text{m/s} \] \[ r = 1 , \text{m} \] \[ F_c = m \cdot \frac{v^2}{r} = 0.5 \cdot \frac{2^2}{1} = 0.5 \cdot 4 = 2 , \text{N} \]

Un objecte es mou en una trajectòria circular amb un radi de 3 metres a una velocitat angular de 2 rad/s. Calcula l'acceleració centrípeta.

Un objecte es mou en una trajectòria circular amb un radi de 4 metres i una velocitat angular de 1 rad/s. Calcula la velocitat lineal.

Solució a l'Exercici 1

\[ r = 3 , \text{m} \] \[ \omega = 2 , \text{rad/s} \] \[ a_c = r \cdot \omega^2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 , \text{m/s}^2 \]

Solució a l'Exercici 2

\[ r = 4 , \text{m} \] \[ \omega = 1 , \text{rad/s} \] \[ v = r \cdot \omega = 4 \cdot 1 = 4 , \text{m/s} \]

En aquesta secció, hem après sobre els conceptes bàsics del moviment circular, incloent la velocitat angular, la velocitat lineal, l'acceleració centrípeta i la força centrípeta. Aquests conceptes són fonamentals per simular moviments circulars en videojocs, com ara objectes que giren o es mouen en trajectòries corbes. Hem proporcionat exemples pràctics i exercicis per reforçar aquests conceptes. En el proper mòdul, explorarem les col·lisions i les respostes dins dels videojocs.