En aquest tema, explorarem els conceptes fonamentals de vectors i espais vectorials, que són essencials per a la comprensió de l'àlgebra lineal i la geometria en tres dimensions. Aquests conceptes són la base per a moltes aplicacions en gràfics per ordinador, simulacions físiques i altres àrees de la informàtica.

Un vector és una entitat matemàtica que té magnitud i direcció. En l'espai tridimensional, un vector es pot representar com un conjunt de tres components:

\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix} \]

Operacions amb Vectors

1. Suma de Vectors: \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_x \ u_y \ u_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \ u_y + v_y \ u_z + v_z \end{pmatrix} \]

2. Multiplicació per un Escalar: \[ c \mathbf{v} = c \begin{pmatrix} v_x \ v_y \ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c v_x \ c v_y \ c v_z \end{pmatrix} \]

3. Norma d'un Vector: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]

Un espai vectorial és un conjunt de vectors que compleix amb certes propietats i operacions. Formalment, un espai vectorial \( V \) sobre un camp \( \mathbb{F} \) (com els nombres reals \( \mathbb{R} \)) és un conjunt de vectors amb dues operacions: suma de vectors i multiplicació per un escalar, que compleixen les següents propietats:

1. Associativitat de la Suma: \[ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \]

2. Commutativitat de la Suma: \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \]

3. Element Neutre de la Suma: \[ \exists \mathbf{0} \in V : \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} \]

4. Element Invers de la Suma: \[ \forall \mathbf{v} \in V, \exists -\mathbf{v} \in V : \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} \]

5. Distributivitat de la Multiplicació per un Escalar: \[ c (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c \mathbf{u} + c \mathbf{v} \] \[ (c + d) \mathbf{v} = c \mathbf{v} + d \mathbf{v} \]

6. Associativitat de la Multiplicació per un Escalar: \[ c (d \mathbf{v}) = (cd) \mathbf{v} \]

7. Element Neutre de la Multiplicació per un Escalar: \[ 1 \mathbf{v} = \mathbf{v} \]

Exemple 1: Suma de Vectors

\[ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix} \]

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 7 \ 9 \end{pmatrix} \]

Exemple 2: Multiplicació per un Escalar

\[ c = 2, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix} \]

\[ c \mathbf{v} = 2 \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 6 \end{pmatrix} \]

Troba la suma dels vectors següents:

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 5 \end{pmatrix} \]

\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \ 9 \end{pmatrix} \]

Troba el resultat de multiplicar el vector següent per l'escalar \( -3 \):

\[ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 4 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} \]

\[ -3 \mathbf{c} = -3 \begin{pmatrix} 4 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \ 6 \ -3 \end{pmatrix} \]

En aquesta secció, hem après els conceptes bàsics de vectors i espais vectorials, incloent les operacions amb vectors com la suma i la multiplicació per un escalar, així com les propietats que defineixen un espai vectorial. Aquests conceptes són fonamentals per a la comprensió de l'àlgebra lineal i la geometria en tres dimensions, i seran la base per als temes més avançats que tractarem en aquest curs.