Introducció
En aquest tema, explorarem dos tipus de productes entre vectors que són fonamentals en la geometria tridimensional: el producte escalar i el producte vectorial. Aquests conceptes són essencials per a la manipulació de vectors en l'espai 3D i tenen aplicacions importants en àrees com la física, l'enginyeria i els gràfics per ordinador.
Producte Escalar
Definició
El producte escalar (també conegut com a producte punt) entre dos vectors
on:
és la magnitud del vector , és la magnitud del vector , és l'angle entre els dos vectors.
Càlcul
En termes de les components dels vectors, si
Propietats
- Commutativitat:
- Distributivitat:
- Associativitat respecte a un escalar:
Exemple
Suposem que tenim dos vectors
Producte Vectorial
Definició
El producte vectorial (també conegut com a producte creuat) entre dos vectors
on:
és la magnitud del vector , és la magnitud del vector , és l'angle entre els dos vectors, és un vector unitari perpendicular a ambdós i , en la direcció determinada per la regla de la mà dreta.
Càlcul
En termes de les components dels vectors, si
Això es pot expandir com:
Propietats
- Anticommutativitat:
- Distributivitat:
- Associativitat respecte a un escalar:
Exemple
Suposem que tenim dos vectors
Exercicis Pràctics
Exercici 1
Calcula el producte escalar dels vectors
Solució
Exercici 2
Calcula el producte vectorial dels vectors
Solució
Conclusió
En aquesta secció, hem après a calcular el producte escalar i el producte vectorial de vectors en l'espai 3D. Aquests conceptes són fonamentals per a la comprensió de la geometria tridimensional i tenen aplicacions pràctiques en molts camps. A la següent secció, explorarem les equacions de plans i rectes en l'espai 3D.
Matemàtiques 3D
Mòdul 1: Fonaments d'Àlgebra Lineal
- Vectors i Espais Vectorials
- Matrius i Determinants
- Sistemes d'Equacions Lineals
- Autovalors i Autovectors
Mòdul 2: Transformacions Lineals
- Definició i Propietats
- Matrius de Transformació
- Rotacions, Translacions i Escalats
- Composició de Transformacions