En aquest tema, explorarem dos tipus de productes entre vectors que són fonamentals en la geometria tridimensional: el producte escalar i el producte vectorial. Aquests conceptes són essencials per a la manipulació de vectors en l'espai 3D i tenen aplicacions importants en àrees com la física, l'enginyeria i els gràfics per ordinador.

El producte escalar (també conegut com a producte punt) entre dos vectors \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\) es defineix com:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]

on:

• \(|\mathbf{a}|\) és la magnitud del vector \(\mathbf{a}\),
• \(|\mathbf{b}|\) és la magnitud del vector \(\mathbf{b}\),
• \(\theta\) és l'angle entre els dos vectors.

En termes de les components dels vectors, si \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) i \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\), el producte escalar es calcula com:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

• Commutativitat: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\)
• Distributivitat: \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\)
• Associativitat respecte a un escalar: \(k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})\)

Suposem que tenim dos vectors \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) i \(\mathbf{b} = (4, -5, 6)\). El producte escalar és:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 \]

El producte vectorial (també conegut com a producte creuat) entre dos vectors \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\) és un vector \(\mathbf{c}\) que és perpendicular a ambdós vectors \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\). Es defineix com:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin(\theta) \mathbf{n} \]

on:

• \(|\mathbf{a}|\) és la magnitud del vector \(\mathbf{a}\),
• \(|\mathbf{b}|\) és la magnitud del vector \(\mathbf{b}\),
• \(\theta\) és l'angle entre els dos vectors,
• \(\mathbf{n}\) és un vector unitari perpendicular a ambdós \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\), en la direcció determinada per la regla de la mà dreta.

En termes de les components dels vectors, si \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) i \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\), el producte vectorial es calcula com:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
a_1 & a_2 & a_3
b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

Això es pot expandir com:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{k} \]

• Anticommutativitat: \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})\)
• Distributivitat: \(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}\)
• Associativitat respecte a un escalar: \(k (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})\)

Suposem que tenim dos vectors \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) i \(\mathbf{b} = (4, -5, 6)\). El producte vectorial és:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
1 & 2 & 3
4 & -5 & 6 \end{vmatrix} \]

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot (-5))\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot (-5) - 2 \cdot 4)\mathbf{k} \]

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (12 + 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (-5 - 8)\mathbf{k} \]

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 27\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 13\mathbf{k} \]

Calcula el producte escalar dels vectors \(\mathbf{u} = (3, -2, 5)\) i \(\mathbf{v} = (4, 0, -1)\).

Solució

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = 12 + 0 - 5 = 7 \]

Calcula el producte vectorial dels vectors \(\mathbf{u} = (1, 4, -2)\) i \(\mathbf{v} = (3, -1, 2)\).

Solució

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
1 & 4 & -2
3 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (4 \cdot 2 - (-2) \cdot (-1))\mathbf{i} - (1 \cdot 2 - (-2) \cdot 3)\mathbf{j} + (1 \cdot (-1) - 4 \cdot 3)\mathbf{k} \]

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (8 - 2)\mathbf{i} - (2 + 6)\mathbf{j} + (-1 - 12)\mathbf{k} \]

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = 6\mathbf{i} - 8\mathbf{j} - 13\mathbf{k} \]

En aquesta secció, hem après a calcular el producte escalar i el producte vectorial de vectors en l'espai 3D. Aquests conceptes són fonamentals per a la comprensió de la geometria tridimensional i tenen aplicacions pràctiques en molts camps. A la següent secció, explorarem les equacions de plans i rectes en l'espai 3D.