En aquest tema, explorarem dos tipus de productes entre vectors que són fonamentals en la geometria tridimensional: el producte escalar i el producte vectorial. Aquests conceptes són essencials per a la manipulació de vectors en l'espai 3D i tenen aplicacions importants en àrees com la física, l'enginyeria i els gràfics per ordinador.

El producte escalar (també conegut com a producte punt) entre dos vectors i es defineix com:

on:

• és la magnitud del vector ,
• és la magnitud del vector ,
• és l'angle entre els dos vectors.

En termes de les components dels vectors, si i , el producte escalar es calcula com:

• Commutativitat:
• Distributivitat:
• Associativitat respecte a un escalar:

Suposem que tenim dos vectors i . El producte escalar és:

El producte vectorial (també conegut com a producte creuat) entre dos vectors i és un vector que és perpendicular a ambdós vectors i . Es defineix com:

on:

• és la magnitud del vector ,
• és la magnitud del vector ,
• és l'angle entre els dos vectors,
• és un vector unitari perpendicular a ambdós i , en la direcció determinada per la regla de la mà dreta.

En termes de les components dels vectors, si i , el producte vectorial es calcula com:

Això es pot expandir com:

• Anticommutativitat:
• Distributivitat:
• Associativitat respecte a un escalar:

Suposem que tenim dos vectors i . El producte vectorial és:

Calcula el producte escalar dels vectors i .

Solució

Calcula el producte vectorial dels vectors i .

Solució

En aquesta secció, hem après a calcular el producte escalar i el producte vectorial de vectors en l'espai 3D. Aquests conceptes són fonamentals per a la comprensió de la geometria tridimensional i tenen aplicacions pràctiques en molts camps. A la següent secció, explorarem les equacions de plans i rectes en l'espai 3D.