Els sistemes d'equacions lineals són una part fonamental de l'àlgebra lineal i tenen aplicacions en molts camps, incloent la manipulació de gràfics en tres dimensions. En aquesta secció, aprendrem a resoldre sistemes d'equacions lineals utilitzant diferents mètodes i veurem com aquests conceptes es poden aplicar a problemes reals.

1. Equació Lineal: Una equació de la forma \(a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b\), on \(a_i\) són coeficients constants, \(x_i\) són variables i \(b\) és una constant.
2. Sistema d'Equacions Lineals: Un conjunt de dues o més equacions lineals amb les mateixes variables.
3. Solució d'un Sistema: Un conjunt de valors per a les variables que satisfan totes les equacions del sistema simultàniament.

Aquest mètode implica resoldre una de les equacions per una variable i després substituir aquesta expressió en les altres equacions.

Exemple:

Considerem el sistema: \[ \begin{cases} x + y = 3
2x - y = 1 \end{cases} \]

Pas 1: Resolem la primera equació per \(y\): \[ y = 3 - x \]

Pas 2: Substituïm \(y\) en la segona equació: \[ 2x - (3 - x) = 1 \] \[ 2x - 3 + x = 1 \] \[ 3x - 3 = 1 \] \[ 3x = 4 \] \[ x = \frac{4}{3} \]

Pas 3: Substituïm \(x\) en l'expressió de \(y\): \[ y = 3 - \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{9}{3} - \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{5}{3} \]

La solució és \( \left( \frac{4}{3}, \frac{5}{3} \right) \).

Aquest mètode implica sumar o restar equacions per eliminar una de les variables.

Exemple:

Considerem el mateix sistema: \[ \begin{cases} x + y = 3
2x - y = 1 \end{cases} \]

Pas 1: Sumem les dues equacions per eliminar \(y\): \[ (x + y) + (2x - y) = 3 + 1 \] \[ 3x = 4 \] \[ x = \frac{4}{3} \]

Pas 2: Substituïm \(x\) en una de les equacions originals: \[ x + y = 3 \] \[ \frac{4}{3} + y = 3 \] \[ y = 3 - \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{5}{3} \]

La solució és \( \left( \frac{4}{3}, \frac{5}{3} \right) \).

Aquest mètode utilitza matrius per resoldre sistemes d'equacions lineals.

Exemple:

Considerem el sistema: \[ \begin{cases} x + y = 3
2x - y = 1 \end{cases} \]

Pas 1: Representem el sistema amb una matriu augmentada: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 3
2 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \]

Pas 2: Utilitzem operacions fila per transformar la matriu en forma esglaonada reduïda: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 3
2 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 3
0 & -3 & | & -5 \end{pmatrix} \]

Pas 3: Simplifiquem la segona fila: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 3
0 & 1 & | & \frac{5}{3} \end{pmatrix} \]

Pas 4: Substituïm la segona fila en la primera: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{4}{3}
0 & 1 & | & \frac{5}{3} \end{pmatrix} \]

La solució és \( \left( \frac{4}{3}, \frac{5}{3} \right) \).

Resol el següent sistema d'equacions utilitzant el mètode de substitució: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7
x - 4y = -5 \end{cases} \]

Pas 1: Resolem la segona equació per \(x\): \[ x = -5 + 4y \]

Pas 2: Substituïm \(x\) en la primera equació: \[ 2(-5 + 4y) + 3y = 7 \] \[ -10 + 8y + 3y = 7 \] \[ 11y = 17 \] \[ y = \frac{17}{11} \]

Pas 3: Substituïm \(y\) en l'expressió de \(x\): \[ x = -5 + 4 \left( \frac{17}{11} \right) \] \[ x = -5 + \frac{68}{11} \] \[ x = \frac{-55 + 68}{11} \] \[ x = \frac{13}{11} \]

La solució és \( \left( \frac{13}{11}, \frac{17}{11} \right) \).

Resol el següent sistema d'equacions utilitzant el mètode d'eliminació: \[ \begin{cases} 3x + 2y = 5
4x - y = 6 \end{cases} \]

Pas 1: Multipliquem la segona equació per 2 per igualar els coeficients de \(y\): \[ 2(4x - y) = 2(6) \] \[ 8x - 2y = 12 \]

Pas 2: Sumem les dues equacions: \[ (3x + 2y) + (8x - 2y) = 5 + 12 \] \[ 11x = 17 \] \[ x = \frac{17}{11} \]

Pas 3: Substituïm \(x\) en una de les equacions originals: \[ 3 \left( \frac{17}{11} \right) + 2y = 5 \] \[ \frac{51}{11} + 2y = 5 \] \[ 2y = 5 - \frac{51}{11} \] \[ 2y = \frac{55}{11} - \frac{51}{11} \] \[ 2y = \frac{4}{11} \] \[ y = \frac{2}{11} \]

La solució és \( \left( \frac{17}{11}, \frac{2}{11} \right) \).

En aquesta secció, hem après a resoldre sistemes d'equacions lineals utilitzant tres mètodes diferents: substitució, eliminació i matrius. Cada mètode té els seus avantatges i és útil en diferents situacions. La comprensió d'aquests mètodes és essencial per a la manipulació de gràfics en tres dimensions i altres aplicacions pràctiques en matemàtiques avançades.