En aquest tema, explorarem els conceptes fonamentals de les coordenades i els plans en l'espai tridimensional. Aquestes eines són essencials per a la manipulació i representació d'objectes en 3D, tant en matemàtiques com en aplicacions pràctiques com els gràfics per ordinador.

El sistema de coordenades cartesià en 3D utilitza tres eixos perpendiculars entre si: l'eix X, l'eix Y i l'eix Z. Cada punt en l'espai es representa com un vector de tres components \((x, y, z)\), on:

• \(x\) és la coordenada en l'eix X.
• \(y\) és la coordenada en l'eix Y.
• \(z\) és la coordenada en l'eix Z.

Un punt \(P\) en l'espai 3D es pot representar com: \[ P = (x, y, z) \]

Exemple: El punt \(P = (2, -3, 5)\) es troba a 2 unitats en la direcció de l'eix X, -3 unitats en la direcció de l'eix Y i 5 unitats en la direcció de l'eix Z.

La distància \(d\) entre dos punts \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\) i \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\) es calcula amb la fórmula: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Exemple: Troba la distància entre els punts \(P_1 = (1, 2, 3)\) i \(P_2 = (4, 6, 8)\).

\[ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Un pla en l'espai 3D es pot definir amb l'equació general: \[ ax + by + cz + d = 0 \] on \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) són constants i \((x, y, z)\) són les coordenades d'un punt en el pla.

El vector \(\mathbf{n} = (a, b, c)\) és el vector normal al pla, és a dir, és perpendicular a qualsevol vector que es trobi en el pla.

Per determinar si un punt \(P = (x_0, y_0, z_0)\) es troba en un pla, substituïm les coordenades del punt en l'equació del pla: \[ a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 0 \]

Exemple: Determina si el punt \(P = (1, 2, 3)\) es troba en el pla definit per l'equació \(2x - y + z - 4 = 0\).

Substituïm les coordenades del punt en l'equació del pla: \[ 2(1) - 2 + 3 - 4 = 2 - 2 + 3 - 4 = -1 \]

Com que el resultat no és zero, el punt \(P\) no es troba en el pla.

Dos plans poden intersectar-se en una recta. Per trobar la intersecció, resolen el sistema d'equacions format per les equacions dels dos plans.

Exemple: Troba la intersecció dels plans \(2x - y + z = 1\) i \(x + y - z = 2\).

Resolem el sistema d'equacions: \[ \begin{cases} 2x - y + z = 1
x + y - z = 2 \end{cases} \]

Sumem les dues equacions per eliminar \(z\): \[ (2x - y + z) + (x + y - z) = 1 + 2 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \]

Substituïm \(x = 1\) en la segona equació: \[ 1 + y - z = 2 \] \[ y - z = 1 \]

Substituïm \(x = 1\) en la primera equació: \[ 2(1) - y + z = 1 \] \[ 2 - y + z = 1 \] \[ -y + z = -1 \]

Resolem el sistema: \[ \begin{cases} y - z = 1
-y + z = -1 \end{cases} \]

Sumem les dues equacions: \[ (y - z) + (-y + z) = 1 - 1 \] \[ 0 = 0 \]

Això indica que les equacions són consistents i la intersecció és una recta. Per trobar la recta, expressarem \(y\) i \(z\) en funció d'un paràmetre \(t\): \[ y = t \] \[ z = t + 1 \]

La intersecció és la recta: \[ (x, y, z) = (1, t, t + 1) \]

Troba la distància entre els punts \(A = (1, 2, 3)\) i \(B = (4, 5, 6)\).

Determina si el punt \(Q = (2, -1, 3)\) es troba en el pla \(3x + 4y - z + 5 = 0\).

Troba la intersecció dels plans \(x + 2y - z = 3\) i \(2x - y + 3z = 4\).

\[ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

Substituïm les coordenades del punt en l'equació del pla: \[ 3(2) + 4(-1) - 3 + 5 = 6 - 4 - 3 + 5 = 4 \] Com que el resultat no és zero, el punt \(Q\) no es troba en el pla.

Resolem el sistema d'equacions: \[ \begin{cases} x + 2y - z = 3
2x - y + 3z = 4 \end{cases} \]

Multipliquem la primera equació per 2 i sumem: \[ 2(x + 2y - z) + (2x - y + 3z) = 2(3) + 4 \] \[ 2x + 4y - 2z + 2x - y + 3z = 6 + 4 \] \[ 4x + 3y + z = 10 \]

Substituïm \(x = 1\) en la segona equació: \[ 2(1) - y + 3z = 4 \] \[ 2 - y + 3z = 4 \] \[ -y + 3z = 2 \]

La intersecció és la recta: \[ (x, y, z) = (1, t, \frac{2 + t}{3}) \]

En aquesta secció, hem après a treballar amb coordenades i plans en l'espai tridimensional. Hem vist com representar punts, calcular distàncies, determinar si un punt es troba en un pla i trobar la intersecció de dos plans. Aquests conceptes són fonamentals per a la manipulació d'objectes en 3D i seran la base per a temes més avançats en aquest curs.