Els autovalors i autovectors són conceptes fonamentals en l'àlgebra lineal que tenen aplicacions importants en la manipulació de gràfics en tres dimensions, així com en altres àrees de la ciència i l'enginyeria. En aquesta secció, aprendrem què són els autovalors i autovectors, com es calculen i com s'utilitzen en el context de les transformacions lineals.

• Autovalor: Un escalar \(\lambda\) és un autovalor d'una matriu \(A\) si existeix un vector no nul \(v\) tal que \(Av = \lambda v\).
• Autovector: Un vector no nul \(v\) és un autovector d'una matriu \(A\) associat a l'autovalor \(\lambda\) si compleix \(Av = \lambda v\).

• Els autovalors poden ser reals o complexos.
• Els autovectors associats a diferents autovalors són linealment independents.
• Una matriu \(A\) pot tenir fins a \(n\) autovalors, on \(n\) és la dimensió de la matriu.

Per trobar els autovalors d'una matriu \(A\), hem de resoldre l'equació característica:

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

on \(I\) és la matriu identitat de la mateixa dimensió que \(A\), i \(\lambda\) són els autovalors.

Exemple

Considerem la matriu \(A\):

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1
2 & 3 \end{pmatrix} \]

L'equació característica és:

\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1
2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = 0 \]

Calculant el determinant:

\[ (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \cdot 1 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \]

Resolent l'equació quadràtica:

\[ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \] \[ \lambda = 2 \quad \text{i} \quad \lambda = 5 \]

Així, els autovalors de \(A\) són \(\lambda_1 = 2\) i \(\lambda_2 = 5\).

Per cada autovalor \(\lambda\), trobem els autovectors resolent el sistema d'equacions lineals:

\[ (A - \lambda I)v = 0 \]

Exemple

Per \(\lambda = 2\):

\[ (A - 2I) = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 1
2 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1
2 & 1 \end{pmatrix} \]

Resolem el sistema:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1
2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

Aquest sistema té solucions no trivials, com \(x = -y\). Un autovector associat a \(\lambda = 2\) és:

\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1
-2 \end{pmatrix} \]

Per \(\lambda = 5\):

\[ (A - 5I) = \begin{pmatrix} 4 - 5 & 1
2 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1
2 & -2 \end{pmatrix} \]

Resolem el sistema:

\[ \begin{pmatrix} -1 & 1
2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

Aquest sistema té solucions no trivials, com \(x = y\). Un autovector associat a \(\lambda = 5\) és:

\[ v_2 = \begin{pmatrix} 1
1 \end{pmatrix} \]

Els autovalors i autovectors són essencials en moltes aplicacions de gràfics 3D, incloent:

• Anàlisi de Transformacions: Comprendre com una transformació afecta els objectes en l'espai.
• Reducció de Dimensionalitat: Utilitzar autovalors per identificar les direccions principals en les dades (PCA).
• Simulació Física: Modelar comportaments dinàmics d'objectes.

Troba els autovalors i autovectors de la següent matriu:

\[ B = \begin{pmatrix} 3 & 2
2 & 3 \end{pmatrix} \]

1. Troba l'equació característica:

\[ \det(B - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 2
2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 5) = 0 \]

2. Resol l'equació quadràtica:

\[ \lambda = 1 \quad \text{i} \quad \lambda = 5 \]

3. Troba els autovectors per cada autovalor:

Per \(\lambda = 1\):

\[ (B - I) = \begin{pmatrix} 2 & 2
2 & 2 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 2 & 2
2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

\[ x = -y \]

Autovector:

\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1
-1 \end{pmatrix} \]

Per \(\lambda = 5\):

\[ (B - 5I) = \begin{pmatrix} -2 & 2
2 & -2 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} -2 & 2
2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
0 \end{pmatrix} \]

\[ x = y \]

Autovector:

\[ v_2 = \begin{pmatrix} 1
1 \end{pmatrix} \]

En aquesta secció, hem après què són els autovalors i autovectors, com es calculen i com s'apliquen en el context de les transformacions lineals i gràfics 3D. Aquests conceptes són fonamentals per a la comprensió i manipulació d'objectes en espais tridimensionals, i tenen aplicacions pràctiques en moltes àrees de la ciència i l'enginyeria.