En aquest tema, explorarem les matrius de transformació, que són eines fonamentals en l'àlgebra lineal per a la manipulació de gràfics en tres dimensions. Les matrius de transformació ens permeten aplicar operacions com rotacions, translacions i escalats als objectes 3D de manera eficient i sistemàtica.

Al final d'aquest tema, hauràs de ser capaç de:

1. Entendre què és una matriu de transformació.
2. Aplicar matrius de transformació per a rotacions, translacions i escalats.
3. Composar diverses transformacions utilitzant matrius.

Una matriu de transformació és una matriu que, quan es multiplica per un vector, transforma aquest vector d'una manera específica. En el context de gràfics 3D, les matrius de transformació s'utilitzen per modificar la posició, l'orientació i la mida dels objectes.

Considerem una matriu de transformació \( T \) i un vector \( \mathbf{v} \):

\[ T = \begin{pmatrix} a & b & c
d & e & f
g & h & i \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x
y
z \end{pmatrix} \]

La transformació del vector \( \mathbf{v} \) per la matriu \( T \) es calcula com:

\[ T \mathbf{v} = \begin{pmatrix} a & b & c
d & e & f
g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
y
z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by + cz
dx + ey + fz
gx + hy + iz \end{pmatrix} \]

Una translació desplaça un objecte d'una posició a una altra. En 3D, una translació es pot representar amb una matriu de 4x4 per incloure la component homogènia.

Matriu de Translació

\[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x
0 & 1 & 0 & t_y
0 & 0 & 1 & t_z
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

On \( t_x, t_y, t_z \) són les components de la translació en les direccions \( x, y, z \) respectivament.

Una rotació gira un objecte al voltant d'un eix. Les rotacions en 3D es poden representar amb matrius de 3x3 o 4x4.

Matriu de Rotació al voltant de l'eix Z

\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Un escalat canvia la mida d'un objecte. L'escalat es pot representar amb una matriu diagonal.

Matriu d'Escalat

\[ S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0
0 & s_y & 0 & 0
0 & 0 & s_z & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

On \( s_x, s_y, s_z \) són els factors d'escalat en les direccions \( x, y, z \) respectivament.

Les transformacions es poden combinar multiplicant les seves matrius corresponents. L'ordre de multiplicació és important, ja que la composició de transformacions no és commutativa.

Suposem que volem aplicar una translació seguida d'una rotació:

1. Matriu de Translació \( T \)
2. Matriu de Rotació \( R \)

La matriu resultant \( M \) serà:

\[ M = R \cdot T \]

Donada la matriu de translació \( T \) i el vector \( \mathbf{v} \):

\[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3
0 & 1 & 0 & 4
0 & 0 & 1 & 5
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1
2
3
1 \end{pmatrix} \]

Calcula el vector transformat \( \mathbf{v}' \).

\[ \mathbf{v}' = T \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3
0 & 1 & 0 & 4
0 & 0 & 1 & 5
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1
2
3
1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3
2 + 4
3 + 5
1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4
6
8
1 \end{pmatrix} \]

Donades les matrius de transformació \( T \) i \( R \):

\[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2
0 & 1 & 0 & 3
0 & 0 & 1 & 4
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} & 0 & 0
\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Calcula la matriu resultant \( M \).

\[ M = R \cdot T = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} & 0 & 0
\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2
0 & 1 & 0 & 3
0 & 0 & 1 & 4
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ M = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} & 0 & 2\cos \frac{\pi}{4} - 3\sin \frac{\pi}{4}
\sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} & 0 & 2\sin \frac{\pi}{4} + 3\cos \frac{\pi}{4}
0 & 0 & 1 & 4
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

En aquesta secció, hem après què són les matrius de transformació i com s'utilitzen per aplicar translacions, rotacions i escalats als objectes 3D. També hem vist com compondre diverses transformacions utilitzant la multiplicació de matrius. Aquestes habilitats són fonamentals per a la manipulació de gràfics en tres dimensions i seran la base per a temes més avançats en aquest curs.