Els vectors són elements fonamentals en la representació i manipulació d'objectes en l'espai tridimensional. En aquest tema, explorarem els conceptes bàsics dels vectors en 3D, incloent les seves propietats, operacions i aplicacions pràctiques.

Un vector en l'espai tridimensional es pot definir com una entitat que té magnitud i direcció. Es representa habitualment com una terna de coordenades \((x, y, z)\).

Un vector \(\mathbf{v}\) en 3D es pot escriure de diverses maneres:

• Coordenades: \(\mathbf{v} = (x, y, z)\)
• Forma columnar: \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\)
• Amb components: \(\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\), on \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) i \(\mathbf{k}\) són els vectors unitat en les direccions \(x\), \(y\) i \(z\) respectivament.

La magnitud (o longitud) d'un vector \(\mathbf{v} = (x, y, z)\) es calcula utilitzant la fórmula: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

La direcció d'un vector es pot expressar en termes dels angles que forma amb els eixos de coordenades, o mitjançant un vector unitari en la mateixa direcció. Un vector unitari \(\mathbf{u}\) es defineix com un vector amb magnitud 1: \[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} \]

La suma de dos vectors \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) i \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\) es calcula component a component: \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \]

La resta de dos vectors es calcula de manera similar a la suma: \[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3) \]

Multiplicar un vector \(\mathbf{v} = (x, y, z)\) per un escalar \(k\) implica multiplicar cada component del vector per \(k\): \[ k\mathbf{v} = (kx, ky, kz) \]

El producte escalar (o punt) de dos vectors \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) i \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\) es defineix com: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]

El producte vectorial de dos vectors \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\) resulta en un tercer vector \(\mathbf{c}\) que és perpendicular als dos vectors originals: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} \]

Troba la magnitud del vector \(\mathbf{v} = (3, -4, 12)\). \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Troba el producte escalar dels vectors \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) i \(\mathbf{b} = (4, -5, 6)\). \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 \]

Troba el producte vectorial dels vectors \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) i \(\mathbf{b} = (4, -5, 6)\). \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & 3 \ 4 & -5 & 6 \end{vmatrix} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot (-5))\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot (-5) - 2 \cdot 4)\mathbf{k} \] \[ = (12 + 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (-5 - 8)\mathbf{k} \] \[ = 27\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 13\mathbf{k} \] \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (27, 6, -13) \]

Troba la magnitud del vector \(\mathbf{u} = (-2, 3, 6)\).

Troba el producte escalar dels vectors \(\mathbf{c} = (7, 8, 9)\) i \(\mathbf{d} = (1, 0, -1)\).

Troba el producte vectorial dels vectors \(\mathbf{e} = (2, 3, 4)\) i \(\mathbf{f} = (5, 6, 7)\).

\[ |\mathbf{u}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \]

\[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 7 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 9 \cdot (-1) = 7 + 0 - 9 = -2 \]

\[ \mathbf{e} \times \mathbf{f} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 3 & 4 \ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} = (3 \cdot 7 - 4 \cdot 6)\mathbf{i} - (2 \cdot 7 - 4 \cdot 5)\mathbf{j} + (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{k} \] \[ = (21 - 24)\mathbf{i} - (14 - 20)\mathbf{j} + (12 - 15)\mathbf{k} \] \[ = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] \[ \mathbf{e} \times \mathbf{f} = (-3, 6, -3) \]

En aquesta secció, hem explorat els conceptes bàsics dels vectors en l'espai tridimensional, incloent la seva definició, magnitud, direcció i operacions fonamentals com la suma, resta, producte escalar i producte vectorial. Aquests conceptes són essencials per a la manipulació de gràfics en 3D i seran la base per a temes més avançats en aquest curs.