En aquest tema, explorarem les transformacions lineals, un concepte fonamental en àlgebra lineal amb aplicacions directes en la manipulació de gràfics en tres dimensions. Aprendrem què són les transformacions lineals, les seves propietats bàsiques i com es representen matemàticament.
Què és una Transformació Lineal?
Una transformació lineal és una funció entre dos espais vectorials que preserva les operacions de suma de vectors i multiplicació per escalar. Formalment, una transformació lineal
- Additivitat:
- Homogeneïtat:
Exemples de Transformacions Lineals
- Identitat:
- Rotació: Una rotació al voltant d'un eix fix.
- Escalat:
, on és un escalar. - Translació: No és una transformació lineal perquè no preserva l'origen.
Propietats de les Transformacions Lineals
- Preservació de l'Origen
Una transformació lineal sempre envia l'origen de l'espai vectorial d'origen a l'origen de l'espai vectorial de destinació:
- Composició de Transformacions Lineals
La composició de dues transformacions lineals és també una transformació lineal. Si
- Matriu Associada a una Transformació Lineal
Cada transformació lineal
- Núcli i Imatge
- Núcli (Ker): El conjunt de tots els vectors
en tal que . - Imatge (Im): El conjunt de tots els vectors en
que es poden expressar com per algun vector en .
- Inversibilitat
Una transformació lineal
Exemple Pràctic: Rotació en el Pla
Considerem una rotació en el pla
Si volem rotar un vector
Exercicis Pràctics
-
Exercici 1: Verifica si la següent funció és una transformació lineal:
-
Exercici 2: Troba la matriu associada a la transformació lineal que rota vectors en
per un angle de . -
Exercici 3: Determina el núcli i la imatge de la transformació lineal
definida per:
Solucions
-
Solució 1:
- Additivitat:
- Homogeneïtat:
- Per tant,
és una transformació lineal.
- Additivitat:
-
Solució 2:
- La matriu de rotació per
és:
- La matriu de rotació per
-
Solució 3:
- Núcli:
- Imatge:
Missing or unrecognized delimiter for \left
- Núcli:
Conclusió
En aquesta secció, hem après què són les transformacions lineals, les seves propietats fonamentals i com es poden representar mitjançant matrius. Aquestes eines són essencials per comprendre i manipular gràfics en tres dimensions, ja que moltes operacions gràfiques es poden descriure com transformacions lineals. En el proper tema, explorarem les matrius de transformació en més detall.
Matemàtiques 3D
Mòdul 1: Fonaments d'Àlgebra Lineal
- Vectors i Espais Vectorials
- Matrius i Determinants
- Sistemes d'Equacions Lineals
- Autovalors i Autovectors
Mòdul 2: Transformacions Lineals
- Definició i Propietats
- Matrius de Transformació
- Rotacions, Translacions i Escalats
- Composició de Transformacions