En aquest tema, explorarem les transformacions lineals, un concepte fonamental en àlgebra lineal amb aplicacions directes en la manipulació de gràfics en tres dimensions. Aprendrem què són les transformacions lineals, les seves propietats bàsiques i com es representen matemàticament.

Una transformació lineal és una funció entre dos espais vectorials que preserva les operacions de suma de vectors i multiplicació per escalar. Formalment, una transformació lineal \( T \) de l'espai vectorial \( V \) a l'espai vectorial \( W \) és una funció \( T: V \rightarrow W \) tal que per a tots els vectors \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \) i qualsevol escalar \( c \in \mathbb{R} \):

1. Additivitat: \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \)
2. Homogeneïtat: \( T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \)

1. Identitat: \( T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \)
2. Rotació: Una rotació al voltant d'un eix fix.
3. Escalat: \( T(\mathbf{v}) = k\mathbf{v} \), on \( k \) és un escalar.
4. Translació: No és una transformació lineal perquè no preserva l'origen.

Una transformació lineal sempre envia l'origen de l'espai vectorial d'origen a l'origen de l'espai vectorial de destinació: \[ T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} \]

La composició de dues transformacions lineals és també una transformació lineal. Si \( T_1: U \rightarrow V \) i \( T_2: V \rightarrow W \) són transformacions lineals, llavors la composició \( T_2 \circ T_1: U \rightarrow W \) és una transformació lineal.

Cada transformació lineal \( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \) es pot representar mitjançant una matriu \( A \) de dimensions \( m \times n \) tal que per a qualsevol vector \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \): \[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} \]

• Núcli (Ker): El conjunt de tots els vectors \( \mathbf{v} \) en \( V \) tal que \( T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \).
• Imatge (Im): El conjunt de tots els vectors en \( W \) que es poden expressar com \( T(\mathbf{v}) \) per algun vector \( \mathbf{v} \) en \( V \).

Una transformació lineal \( T \) és invertible si existeix una altra transformació lineal \( T^{-1} \) tal que: \[ T^{-1}(T(\mathbf{v})) = \mathbf{v} \quad \text{i} \quad T(T^{-1}(\mathbf{w})) = \mathbf{w} \]

Considerem una rotació en el pla \( \mathbb{R}^2 \) per un angle \( \theta \). La matriu de rotació \( R \) és: \[ R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta
\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]

Si volem rotar un vector \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} \) per un angle \( \theta \), el resultat és: \[ R\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta
\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta
x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix} \]

1. Exercici 1: Verifica si la següent funció és una transformació lineal: \[ T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} 2x \ 3y \end{pmatrix} \]

2. Exercici 2: Troba la matriu associada a la transformació lineal que rota vectors en \( \mathbb{R}^2 \) per un angle de \( 45^\circ \).

3. Exercici 3: Determina el núcli i la imatge de la transformació lineal \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definida per: \[ T\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y \ y + z \end{pmatrix} \]

1. Solució 1:

   • Additivitat: \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T\begin{pmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(u_1 + v_1) \ 3(u_2 + v_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2u_1 \ 3u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2v_1 \ 3v_2 \end{pmatrix} = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \)
   • Homogeneïtat: \( T(c\mathbf{u}) = T\begin{pmatrix} cu_1 \ cu_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(cu_1) \ 3(cu_2) \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} 2u_1 \ 3u_2 \end{pmatrix} = cT(\mathbf{u}) \)
   • Per tant, \( T \) és una transformació lineal.

2. Solució 2:

   • La matriu de rotació per \( 45^\circ \) és: \[ R = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ
     \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}
     \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \]

3. Solució 3:

   • Núcli: \( T\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \implies x + y = 0 \text{ i } y + z = 0 \implies x = -y \text{ i } z = -y \implies \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} -1 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} \)
   • Imatge: \( \text{Im}(T) = \text{span}\left{ \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \right} \)

En aquesta secció, hem après què són les transformacions lineals, les seves propietats fonamentals i com es poden representar mitjançant matrius. Aquestes eines són essencials per comprendre i manipular gràfics en tres dimensions, ja que moltes operacions gràfiques es poden descriure com transformacions lineals. En el proper tema, explorarem les matrius de transformació en més detall.