En aquesta secció, explorarem les equacions que descriuen plans i rectes en l'espai tridimensional. Aquestes equacions són fonamentals per a la representació i manipulació d'objectes en 3D, especialment en el context de gràfics per ordinador i altres aplicacions de la geometria computacional.

Un pla en l'espai 3D es pot definir mitjançant una equació lineal de la forma:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

on \(a\), \(b\) i \(c\) són els coeficients que determinen la normal del pla, i \(d\) és una constant.

El vector \(\mathbf{n} = (a, b, c)\) és el vector normal al pla, és a dir, un vector perpendicular a qualsevol vector que es trobi dins del pla.

Si tenim tres punts no colineals \( \mathbf{P}_1(x_1, y_1, z_1) \), \( \mathbf{P}_2(x_2, y_2, z_2) \) i \( \mathbf{P}_3(x_3, y_3, z_3) \), podem trobar l'equació del pla que els conté. Els passos són:

1. Trobar dos vectors dins del pla: \[ \mathbf{v}_1 = \mathbf{P}_2 - \mathbf{P}_1 = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] \[ \mathbf{v}_2 = \mathbf{P}_3 - \mathbf{P}_1 = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) \]

2. Calcular el producte vectorial \(\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2\) per obtenir el vector normal: \[ \mathbf{n} = (a, b, c) = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 \]

3. Utilitzar el punt \(\mathbf{P}_1\) i el vector normal \(\mathbf{n}\) per escriure l'equació del pla: \[ a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0 \]

Suposem que tenim els punts \( \mathbf{P}_1(1, 2, 3) \), \( \mathbf{P}_2(4, 5, 6) \) i \( \mathbf{P}_3(7, 8, 9) \).

1. Calculant els vectors: \[ \mathbf{v}_1 = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) \] \[ \mathbf{v}_2 = (7 - 1, 8 - 2, 9 - 3) = (6, 6, 6) \]

2. El producte vectorial: \[ \mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = (0, 0, 0) \quad (\text{els punts són colineals, per tant no defineixen un pla}) \]

En aquest cas, els punts són colineals, així que no podem definir un pla únic. Triem altres punts no colineals per continuar.

Una recta en l'espai 3D es pot descriure en forma paramètrica mitjançant un punt \(\mathbf{P}_0(x_0, y_0, z_0)\) i un vector director \(\mathbf{d} = (a, b, c)\):

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{P}_0 + t\mathbf{d} \]

on \(t\) és un paràmetre real.

La forma simètrica de la recta es pot obtenir a partir de la forma paramètrica:

\[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \]

Suposem que tenim el punt \(\mathbf{P}_0(1, 2, 3)\) i el vector director \(\mathbf{d} = (4, 5, 6)\).

1. Forma paramètrica: \[ \mathbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(4, 5, 6) \] \[ x = 1 + 4t, \quad y = 2 + 5t, \quad z = 3 + 6t \]

2. Forma simètrica: \[ \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{6} \]

Troba l'equació del pla que passa pels punts \( \mathbf{P}_1(1, 0, 0) \), \( \mathbf{P}_2(0, 1, 0) \) i \( \mathbf{P}_3(0, 0, 1) \).

1. Calculant els vectors: \[ \mathbf{v}_1 = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0) \] \[ \mathbf{v}_2 = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \]

2. El producte vectorial: \[ \mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = (1, 1, 1) \]

3. Utilitzant el punt \(\mathbf{P}_1\): \[ 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \] \[ x + y + z = 1 \]

Troba l'equació de la recta que passa pel punt \( \mathbf{P}_0(2, 3, 4) \) i té el vector director \( \mathbf{d} = (1, -1, 2) \).

1. Forma paramètrica: \[ \mathbf{r}(t) = (2, 3, 4) + t(1, -1, 2) \] \[ x = 2 + t, \quad y = 3 - t, \quad z = 4 + 2t \]

2. Forma simètrica: \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{2} \]

En aquesta secció, hem après a descriure plans i rectes en l'espai 3D utilitzant diverses formes d'equacions. Aquestes eines són essencials per a la manipulació d'objectes en gràfics 3D i altres aplicacions geomètriques. En el següent mòdul, explorarem com aquestes equacions es poden utilitzar per representar i transformar objectes en 3D.