En aquest tema, explorarem la composició de transformacions lineals, una eina fonamental en la manipulació de gràfics en tres dimensions. La composició de transformacions ens permet combinar múltiples transformacions en una sola operació, simplificant així els càlculs i millorant l'eficiència dels processos gràfics.

1. Transformació Lineal: Una funció que mapatge un espai vectorial a un altre, mantenint les operacions de suma de vectors i multiplicació per escalar.
2. Matriu de Transformació: Una matriu que representa una transformació lineal.
3. Composició de Transformacions: L'aplicació seqüencial de múltiples transformacions lineals.

La composició de transformacions és l'aplicació seqüencial de dues o més transformacions lineals. Si tenim dues transformacions lineals \( T_1 \) i \( T_2 \), la composició \( T_2 \circ T_1 \) significa que primer apliquem \( T_1 \) i després \( T_2 \).

1. Associativitat: La composició de transformacions és associativa. És a dir, si tenim tres transformacions \( T_1 \), \( T_2 \) i \( T_3 \), llavors: \[ (T_3 \circ T_2) \circ T_1 = T_3 \circ (T_2 \circ T_1) \]
2. Identitat: Existeix una transformació identitat \( I \) tal que per qualsevol transformació \( T \): \[ T \circ I = I \circ T = T \]

Cada transformació lineal pot ser representada per una matriu. Si \( T_1 \) és representada per la matriu \( A \) i \( T_2 \) per la matriu \( B \), la composició \( T_2 \circ T_1 \) és representada per la matriu producte \( B \cdot A \).

Considerem dues transformacions en l'espai 3D:

• \( T_1 \): Rotació al voltant de l'eix Z per un angle \( \theta \).
• \( T_2 \): Translació en la direcció del vector \( (d_x, d_y, d_z) \).

Les matrius de transformació corresponents són:

\[ A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & d_x
0 & 1 & 0 & d_y
0 & 0 & 1 & d_z
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

La composició \( T_2 \circ T_1 \) és representada per la matriu producte \( B \cdot A \):

\[ B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & d_x
0 & 1 & 0 & d_y
0 & 0 & 1 & d_z
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0
\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0
0 & 0 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

El resultat és:

\[ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & d_x
\sin \theta & \cos \theta & 0 & d_y
0 & 0 & 1 & d_z
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Aquesta matriu representa una transformació que primer rota al voltant de l'eix Z i després translada en la direcció \( (d_x, d_y, d_z) \).

Enunciat: Donades les següents transformacions en l'espai 3D, troba la matriu de la composició \( T_2 \circ T_1 \):

• \( T_1 \): Escalat per factors \( (s_x, s_y, s_z) \).
• \( T_2 \): Rotació al voltant de l'eix X per un angle \( \alpha \).

Solució:

Les matrius de transformació són:

\[ A = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0
0 & s_y & 0 & 0
0 & 0 & s_z & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0
0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

La composició \( T_2 \circ T_1 \) és:

\[ B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0
0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0
0 & s_y & 0 & 0
0 & 0 & s_z & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

El resultat és:

\[ \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0
0 & s_y \cos \alpha & -s_z \sin \alpha & 0
0 & s_y \sin \alpha & s_z \cos \alpha & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Enunciat: Troba la matriu de la composició de les següents transformacions:

• \( T_1 \): Translació en la direcció \( (3, 4, 5) \).
• \( T_2 \): Rotació al voltant de l'eix Y per un angle \( \beta \).

Solució:

Les matrius de transformació són:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3
0 & 1 & 0 & 4
0 & 0 & 1 & 5
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ B = \begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta & 0
0 & 1 & 0 & 0
-\sin \beta & 0 & \cos \beta & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

La composició \( T_2 \circ T_1 \) és:

\[ B \cdot A = \begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta & 0
0 & 1 & 0 & 0
-\sin \beta & 0 & \cos \beta & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3
0 & 1 & 0 & 4
0 & 0 & 1 & 5
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

El resultat és:

\[ \begin{pmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta & 3 \cos \beta + 5 \sin \beta
0 & 1 & 0 & 4
-\sin \beta & 0 & \cos \beta & -3 \sin \beta + 5 \cos \beta
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

En aquesta secció, hem après sobre la composició de transformacions lineals i com es poden representar mitjançant matrius de transformació. Hem vist exemples pràctics i hem resolt exercicis per reforçar els conceptes apresos. La capacitat de combinar transformacions és essencial per a la manipulació eficient de gràfics en 3D.