En aquest tema, explorarem com es representen els objectes en un espai tridimensional utilitzant matemàtiques i àlgebra lineal. La representació d'objectes 3D és fonamental per a la creació de gràfics per ordinador, simulacions, realitat virtual i altres aplicacions visuals.

Els objectes en un espai tridimensional es representen mitjançant coordenades en un sistema de referència cartesià. Cada punt en aquest espai es defineix per tres coordenades \((x, y, z)\).

Els vectors són eines essencials per representar la posició, la direcció i la magnitud en un espai tridimensional. Un vector en 3D es pot expressar com \(\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)\).

Les matrius de transformació s'utilitzen per aplicar transformacions com translacions, rotacions i escalats als objectes en 3D. Aquestes matrius permeten manipular els objectes de manera eficient.

Un punt en 3D es representa com un vector de coordenades \((x, y, z)\).

Una línia en 3D es pot definir mitjançant una equació paramètrica: \[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{d} \] on \(\mathbf{r}_0\) és un punt de la línia i \(\mathbf{d}\) és un vector director.

Un pla en 3D es pot definir amb l'equació: \[ ax + by + cz + d = 0 \] on \((a, b, c)\) és el vector normal al pla.

Les superfícies en 3D es poden representar mitjançant equacions paramètriques o implícites. Per exemple, una esfera de radi \(r\) centrada en l'origen es pot representar com: \[ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \]

Els volums es poden representar utilitzant conjunts de punts que compleixen certes condicions. Per exemple, un cub de costat \(a\) centrat en l'origen es pot definir com el conjunt de punts \((x, y, z)\) tal que: \[ -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2}, \quad -\frac{a}{2} \leq y \leq \frac{a}{2}, \quad -\frac{a}{2} \leq z \leq \frac{a}{2} \]

La translació desplaça un objecte en l'espai. La matriu de translació per desplaçar un objecte per \((t_x, t_y, t_z)\) és: \[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x
0 & 1 & 0 & t_y
0 & 0 & 1 & t_z
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

La rotació gira un objecte al voltant d'un eix. Les matrius de rotació per als eixos \(x\), \(y\) i \(z\) són:

• Al voltant de l'eix \(x\): \[ R_x(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0
  0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0
  0 & \sin\theta & \cos\theta & 0
  0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

• Al voltant de l'eix \(y\): \[ R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0
  0 & 1 & 0 & 0
  -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0
  0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

• Al voltant de l'eix \(z\): \[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\cos\theta & 0 & 0
  \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0
  0 & 0 & 1 & 0
  0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

L'escalat canvia la mida d'un objecte. La matriu d'escalat per factors \(s_x\), \(s_y\) i \(s_z\) és: \[ S = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0
0 & s_y & 0 & 0
0 & 0 & s_z & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Suposem que volem representar un cub de costat 2 centrat en l'origen. Els vèrtexs del cub es poden definir com: \[ {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)} \]

Si volem rotar aquest cub 45 graus al voltant de l'eix \(y\), utilitzem la matriu de rotació \(R_y(45^\circ)\): \[ R_y(45^\circ) = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & 0 & \sin 45^\circ & 0
0 & 1 & 0 & 0
-\sin 45^\circ & 0 & \cos 45^\circ & 0
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Representa un tetraedre regular centrat en l'origen amb vèrtexs a una distància \(1\) de l'origen. Escriu les coordenades dels vèrtexs.

Aplica una translació de \((2, -1, 3)\) a un punt \((1, 2, 3)\). Quines són les noves coordenades del punt?

Rota el punt \((1, 0, 0)\) 90 graus al voltant de l'eix \(z\). Quines són les noves coordenades del punt?

Els vèrtexs d'un tetraedre regular centrat en l'origen poden ser: \[ \left(1, 1, 1\right), \left(-1, -1, 1\right), \left(-1, 1, -1\right), \left(1, -1, -1\right) \]

Aplicar la translació: \[ \begin{pmatrix} 1
2
3
1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2
-1
3
0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3
1
6
1 \end{pmatrix} \] Les noves coordenades són \((3, 1, 6)\).

Aplicar la rotació: \[ R_z(90^\circ) \begin{pmatrix} 1
0
0
1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
1
0
1 \end{pmatrix} \] Les noves coordenades són \((0, 1, 0)\).

En aquesta secció, hem après com representar objectes en un espai tridimensional utilitzant vectors, matrius i transformacions. Aquests conceptes són fonamentals per a la manipulació de gràfics en 3D i són la base per a aplicacions més avançades en gràfics per ordinador, simulacions i realitat virtual. En el proper tema, explorarem les projeccions i vistes en 3D.