La Marta presenta el mes que ve els resultats de l'enquesta de satisfacció al comitè de direcció, i t'encarrega els materials: «Ningú en aquella sala no llegirà una taula de quartils. Vull gràfics que s'entenguin en cinc segons i que no enganyin ningú». Aquesta lliçó tanca el mòdul ensenyant-te justament això: com organitzar les dades en taules de freqüències (l'esquelet de tot gràfic), quin gràfic correspon a cada tipus de variable, com llegir la forma d'una distribució sobre un histograma i com reconèixer —i no cometre— els trucs dels gràfics enganyosos. Un bon gràfic és el pont entre la teva anàlisi i la decisió; un de dolent pot provocar la decisió equivocada amb dades correctes.

1. Taules de freqüències: absolutes, relatives i acumulades
2. Agrupació en intervals
3. Quin gràfic per a quina variable
4. Gràfics per a variables categòriques: barres i sectors
5. Gràfics per a variables quantitatives: histograma i polígon de freqüències
6. La forma de la distribució
7. Comparar i relacionar: boxplot comparatiu, línies i dispersió
8. Bones pràctiques i gràfics enganyosos

Abans del gràfic hi ha la taula de freqüències: el recompte organitzat de quantes vegades apareix cada valor. La componen tres columnes:

• Freqüència absoluta (\( n_i \)): nombre d'observacions amb aquell valor.
• Freqüència relativa (\( f_i = n_i / n \)): proporció o percentatge sobre el total. Imprescindible per comparar grups de mida diferent.
• Freqüències acumulades (\( N_i \), \( F_i \)): suma de les freqüències fins a aquell valor inclusivament. Només tenen sentit si els valors es poden ordenar (variables ordinals o quantitatives).

Per fi processes l'enquesta completa. La distribució de la nota de satisfacció (0–10):

(Els percentatges estan arrodonits a un decimal; per això alguna suma parcial pot desquadrar una dècima.)

Aquesta taula ja respon preguntes de negoci sense cap gràfic:

• Moda: 9 (170 respostes, el 26,6 %).
• Mediana: l'acumulada creua el 50 % a la nota 8 (\( F_8 = 52{,}2,% \)) → mediana 8. Coherent amb el que has après: la mitjana (8,1) queda per sota de la moda i molt a prop de la mediana, amb la cua de notes baixes que l'estira cap avall.
• Lectura acumulada: només el 7,5 % puntua 5 o menys; el 71,2 % (100 − 28,8) puntua 8 o més. En gestió de satisfacció, aquestes acumulades ("% de detractors", "% de promotors") són sovint l'indicador que se segueix, més que no pas la mitjana.

Amb variables contínues (imports, temps) gairebé cap valor no es repeteix i la taula anterior no funciona: cal agrupar en intervals (o classes).

La notació [15 – 30) significa "des de 15 inclòs fins a 30 sense incloure": així cada tiquet cau en un únic interval, sense ambigüitat a les fronteres.

Criteris pràctics d'agrupació:

• Nombre d'intervals: entre 5 i 15 sol funcionar; una referència habitual és la regla de Sturges, \( k \approx 1 + 3{,}3 \cdot \log_{10}(n) \) (amb \( n = 200 \), \( k \approx 8{,}6 \) → uns 7-9 intervals). Pocs intervals amaguen la forma; massa la fragmenten en soroll.
• Amplada constant sempre que sigui possible (aquí, 15 €): els intervals d'amplada desigual compliquen la lectura i són font clàssica de gràfics enganyosos.
• Límits "rodons" (0, 15, 30…) que el lector processi sense esforç.
• Es perd detall en agrupar (és el preu de la claredat): calcula les mesures exactes (mitjana, quartils) sobre les dades originals, no sobre la taula agrupada, si les tens.

La primera decisió gràfica no és estètica: depèn del tipus de variable (repassa Tipus de Dades) i de la pregunta que vols respondre.

Com a regla de decisió ràpida:

Una barra per categoria; l'alçada és la freqüència (absoluta o relativa). És el gràfic més segur que existeix: l'ull humà compara longituds amb molta precisió.

Exemple: quota de vendes per categoria de producte a NovaMarket, un gràfic de barres construït sobre aquesta taula:

Bones pràctiques: barres des de zero sempre (la longitud és la dada); categories nominals ordenades de major a menor freqüència (les ordinals, en el seu ordre natural: mai no reordenis les notes 0–10 per freqüència); barres separades entre si (el buit distingeix visualment les barres de l'histograma, que va enganxat).

El clàssic "pastís": cada categoria és una porció proporcional a la seva freqüència. Només funciona si es compleixen tres condicions: les parts sumen un tot (100 %), hi ha poques categories (4-6 com a màxim) i les diferències són grans. El repartiment de les 640 respostes per canal —botiga física 70 % (448), en línia 20 % (128), app 10 % (64)— és un bon candidat. La quota de 15 categories de producte, no: l'ull compara angles molt pitjor que longituds. En cas de dubte, fes servir barres; mai no facis servir pastissos per comparar valors semblants entre si.

L'histograma és el gràfic de la taula d'intervals: un rectangle per interval, enganxats entre si (la variable és contínua, no hi ha buits), l'àrea del qual representa la freqüència. Amb intervals d'amplada constant, l'alçada és directament la freqüència; si alguna vegada fas servir amplades desiguals, has de representar densitat (freqüència ÷ amplada) o distorsionaràs el dibuix.

Sobre l'histograma dels 200 tiquets de Valencia-Ruzafa (taula anterior) hi veuries: una pujada ràpida fins a l'interval [15 – 30), que és l'interval modal (64 tiquets), i una baixada progressiva amb una cua llarga cap a la dreta fins als pocs tiquets de 90-105 €. Un cop d'ull i ja coneixes el negoci: moltes compres petites i mitjanes, poques compres grans.

El polígon de freqüències uneix amb línies els punts mitjans de la part superior de cada barra de l'histograma (per als tiquets: els punts (7,5, 28), (22,5, 64), (37,5, 52)…). Aporta el mateix que l'histograma, però com que és una línia permet superposar diverses distribucions sense que es tapin: per exemple, la distribució de tiquets d'un dissabte davant de la d'un dimarts a la mateixa quadrícula.

L'histograma no es mira: es llegeix. Tres preguntes guien la lectura:

1. És simètrica o asimètrica?

Aquí encaixen totes les peces del mòdul: la satisfacció té mitjana 8,1, mediana 8 i moda 9 —mitjana per sota, arrossegada per la cua esquerra de descontents—, mentre que els tiquets tenen la mitjana per sobre de la mediana per la seva cua dreta de compres grans. L'asimetria que diagnosticaves comparant mitjana i mediana a Mesures de Tendència Central, ara la veus.

2. Quants pics té? Una distribució unimodal té un sol pic; una de bimodal, dos. La bimodalitat gairebé sempre delata dues poblacions barrejades: l'histograma d'afluència de clients per hora a Madrid-Centro té dos pics clars (12.00–14.00 i 18.00–20.00) perquè barreja dos tipus de visita —la compra de migdia i la de després de la feina—. Davant d'un histograma bimodal, la pregunta correcta no és «quina és la mitjana?» (cauria a la vall, on gairebé no hi ha dades) sinó «quins dos grups estic barrejant i he de separar?».

3. Hi ha valors aïllats? Barres soltes lluny del cos principal: els candidats a atípics de la lliçó anterior, ara visibles.

Per comparar una variable contínua entre grups, l'histograma es queda curt (superposar-ne més de dos és il·legible). L'eina és el boxplot comparatiu: les caixes de tots els grups alineades sobre el mateix eix. Per exemple, els temps de lliurament de l'e-commerce per trimestre:

Dibuixades les tres caixes l'una al costat de l'altra, la història es llegeix sola: al T3 la mediana baixa (lliuraments més ràpids), la caixa s'estreny (més consistència) i continua havent-hi algun atípic per investigar. Un sol gràfic, tres distribucions comparades en centre, dispersió, asimetria i atípics: per això el boxplot comparatiu és un dels gràfics favorits dels analistes.

Quan l'eix horitzontal és el temps (dies, mesos, trimestres), el gràfic de línies mostra l'evolució: les vendes mensuals de l'e-commerce, la satisfacció mitjana per onada d'enquesta. Punts consecutius units per segments; l'ull capta tendències, estacionalitat (el pic de desembre de NovaMarket) i ruptures. Dues normes: l'eix temporal en ordre cronològic amb espaiat uniforme, i sense connectar punts si hi ha buits de dades. L'anàlisi en profunditat de tendències i estacionalitat té la seva pròpia lliçó de Sèries Temporals; aquí n'hi ha prou de saber presentar l'evolució.

El gràfic de dispersió (núvol de punts) mostra dues variables quantitatives alhora: cada observació és un punt amb coordenades (x, y). Exemple: superfície de sala davant de venda mitjana diària de vuit botigues —Cuenca (850 m², 19.200 €), Bilbao-Casco (1.100 m², 44.000 €), Zaragoza-Centro (1.150 m², 44.000 €), Valencia-Ruzafa (1.200 m², 44.100 €), Barcelona-Gràcia (1.250 m², 46.100 €), Madrid-Chamberí (1.300 m², 47.500 €), Sevilla-Nervión (1.400 m², 52.300 €), Madrid-Centro (2.000 m², 68.400 €)—. En dibuixar el núvol s'aprecia un patró clar: com més superfície, més venda. Quantificar la força d'aquesta relació (i les seves trampes) és l'objecte de l'Anàlisi de Correlació; de moment queda't amb el gràfic com a eina de presentació i primera exploració.

Un gràfic pot mentir sense contenir ni una sola dada falsa. Els trucs més freqüents —que has de saber detectar com a lector i evitar com a autor:

1. L'eix truncat. El clàssic. Sevilla-Nervión va vendre ahir 44.100 € i Zaragoza-Centro 43.900 €: una diferència del 0,5 %. En un gràfic de barres amb l'eix començant a 43.800 €, la barra de Sevilla es veu tres vegades més alta; amb l'eix des de 0, totes dues són visualment idèntiques (que és la veritat). Regla: les barres sempre des de zero, perquè la seva longitud codifica el valor. En un gràfic de línies sí que s'admet un eix retallat per veure el detall de la variació, però indicant-ho amb claredat.

2. Àrees i pictogrames. Per mostrar que les vendes en línia s'han duplicat, algú dibuixa un carret el doble d'alt… però en escalar alçada i amplada alhora, l'àrea es multiplica per 4 i el cervell llegeix "×4". Amb volums 3D, ×8.

3. El 3D decoratiu. Els pastissos i barres en 3D amb perspectiva distorsionen sistemàticament: els sectors del davant semblen més grans. El 3D no afegeix informació; només error.

4. La finestra temporal a conveniència. «Les vendes creixen des del març» pot ser cert i alhora amagar que cauen un 12 % interanual. Triar el rang de l'eix temporal que afavoreix la conclusió desitjada és cherry-picking. Mostra el context suficient i compara amb períodes homogenis.

5. Intervals d'amplada desigual sense ajustar en un histograma: un interval el doble d'ample acumula més freqüència i sembla un pic artificial (per això l'alçada ha de ser densitat en aquest cas).

6. Sobrecàrrega. Dotze colors, doble eix vertical, etiquetes girades, decimals infinits. Cada element que no aporta informació resta atenció a la que sí que n'aporta.

Llista de comprovació del bon gràfic, abans d'enviar-lo a la Marta:

• Títol que enuncia el missatge («El T3 escurça i estabilitza els lliuraments»), no només el contingut («Temps de lliurament»).
• Eixos retolats amb unitats; barres des de zero; font de les dades i \( n \) visibles.
• El tipus de gràfic correcte per al tipus de variable (la taula de la secció 3).
• Ordre amb sentit (categories per freqüència, ordinals per la seva escala, temps cronològic).
• S'entén en cinc segons sense llegir la lletra petita? Si no, simplifica.

• Triar el gràfic per estètica i no per tipus de variable. Un pastís per a 12 categories o unes barres per a una variable contínua confonen encara que quedin "bonics".
• Truncar l'eix d'un gràfic de barres per engrandir diferències minúscules. És l'error (o la trampa) més comú en informes d'empresa.
• Confondre barres amb histograma. Barres separades per a categories; rectangles enganxats per a intervals d'una variable contínua. No és un caprici tipogràfic: comunica si la variable és discreta/categòrica o contínua.
• Ignorar la forma. Informar només de la mitjana d'una distribució bimodal o molt asimètrica és descriure un client que no existeix; l'histograma es mira abans de triar els resums numèrics.
• Fer servir freqüències absolutes per comparar grups de mida diferent. 150 queixes del canal en línia davant de 90 de l'app semblen pitjors per al canal en línia… fins que les poses en percentatge de les seves comandes. Compara amb relatives.
• Consell: per a cada gràfic que publiquis, escriu primer en una frase el missatge que ha de transmetre; si el gràfic acabat no crida aquesta frase, canvia'l.

De 20 tiquets de la botiga Madrid-Chamberí n'anotes la forma de pagament: targeta, targeta, efectiu, app, targeta, efectiu, targeta, targeta, app, targeta, efectiu, targeta, targeta, app, efectiu, targeta, targeta, efectiu, targeta, app.

1. Construeix la taula de freqüències absolutes i relatives. Tenen sentit les acumulades?
2. Quin(s) gràfic(s) faries servir i en quin ordre col·locaries les categories?

Temps de lliurament de 400 comandes de l'e-commerce, agrupats:

1. Calcula les freqüències relatives i les relatives acumulades.
2. Descriu la forma que tindria l'histograma (pics, simetria). Quina relació esperes entre mitjana i mediana?
3. Logística vol prometre «lliurament en menys de 36 h». Quin percentatge de comandes compleix avui aquesta promesa?

Un proveïdor de programari presenta aquest gràfic a la Marta: barres 3D comparant la satisfacció mitjana de clients «amb la nostra app» (8,3) i «sense» (8,0), amb l'eix vertical de 7,9 a 8,4, sense indicar quants clients hi ha a cada grup. Identifica com a mínim tres problemes i proposa com s'hauria de refer.

Exercici 4.1:

1. Recompte: targeta 12 (60 %), efectiu 5 (25 %), app 4 (20 %)… compte! 12 + 5 + 4 = 21 > 20: repassa el recompte. Correcte: targeta 11 (55 %), efectiu 5 (25 %), app 4 (20 %); total 20 i 100 %. (Aquesta ensopegada és intencionada: verifica sempre que les freqüències sumen \( n \); és el control de qualitat més bàsic d'una taula.) Les acumulades no tenen sentit: la forma de pagament és nominal, no hi ha ordre a acumular.
2. Barres (o sectors, que aquí és acceptable: 3 categories que sumen el tot), amb les categories ordenades de major a menor freqüència: targeta, efectiu, app. Mai un histograma: no és una variable contínua.

Exercici 4.2:

1. Relatives (%): 9, 32, 31, 16, 7, 3, 2. Acumulades (%): 9, 41, 72, 88, 95, 98, 100.
2. Unimodal, amb el pic a [18 – 24) —seguit de prop per [24 – 30)— i asimètrica a la dreta: la cua s'estira cap als lliuraments lents (fins a 54 h) mentre que per l'esquerra el recorregut és curt. En conseqüència, cal esperar mitjana > mediana. Error freqüent: anomenar-la "asimètrica a l'esquerra" perquè el pic és a l'esquerra; l'asimetria s'anomena pel costat de la cua, no del pic.
3. Compleixen les comandes per sota de 36 h: l'acumulada fins a [30 – 36) és el 88 %. Si el compromís comercial exigeix un 90 %, avui no s'assoleix (per poc): dada accionable per a logística.

Exercici 4.3:

Problemes: (1) eix truncat (7,9–8,4): engrandeix una diferència de 0,3 punts fins a fer-la semblar enorme —amb barres, l'eix ha de començar a 0—; (2) 3D decoratiu que distorsiona la comparació; (3) falta la mida dels grups (\( n \)): sense això no saps si el 8,3 ve de 30 clients o de 3.000; (4) a més, els grups "amb app / sense app" poden ser diferents en tota la resta (els clients que instal·len l'app són probablement els més fidels), així que la diferència no demostra l'efecte de l'app —distingir associació de causalitat reapareixerà al Mòdul 6—. Refer-lo: barres 2D des de 0 (on es veurà que 8,3 i 8,0 són gairebé iguals), indicant l'\( n \) de cada grup i, encara millor, mostrant la distribució completa de notes de cada grup, no només les mitjanes.

Amb aquesta lliçó tanques el Mòdul 2 i la teva caixa d'eines descriptiva és completa: taules de freqüències com a esquelet, el gràfic correcte per a cada tipus de variable (barres i sectors per a categories; histograma, polígon i boxplot per a contínues; línies per al temps; dispersió per a parelles de variables), la lectura de la forma —simetria, cues, nombre de pics— que dona sentit a les mesures dels temes anteriors, i l'ull crític per detectar eixos truncats, àrees inflades i altres trampes visuals. La Marta ja té la seva presentació: satisfacció amb mediana 8 i cua esquerra de descontents, tiquets amb cua dreta, lliuraments que milloren trimestre rere trimestre.

Però al comitè algú farà la pregunta inevitable: «Aquest 8,1 ve de 640 respostes de 380.000 socis… fins a quin punt ens en podem fiar?». Per respondre-la no n'hi ha prou de descriure: cal mesurar la incertesa, i el llenguatge de la incertesa és la probabilitat. D'això tracta el Mòdul 3, que arrenca amb els Conceptes Bàsics de Probabilitat: experiments aleatoris, esdeveniments i les diferents maneres d'assignar un número a la frase «és probable que».