Les mesures de tendència central són estadístiques que descriuen el punt central o típic d'un conjunt de dades. Aquestes mesures són fonamentals per resumir dades i comprendre la seva distribució. Les tres mesures de tendència central més comunes són la mitjana, la mediana i la moda.
- Mitjana
Definició
La mitjana aritmètica, sovint simplement anomenada mitjana, és el valor obtingut sumant tots els valors d'un conjunt de dades i dividint aquesta suma pel nombre total de valors.
Fórmula
Per a un conjunt de dades \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), la mitjana (\( \bar{x} \)) es calcula com: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Exemple
Considerem el conjunt de dades: 4, 8, 6, 5, 3, 7
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7}{6} = \frac{33}{6} = 5.5 \]
Avantatges i Desavantatges
- Avantatges:
- Fàcil de calcular i entendre.
- Utilitza tota la informació del conjunt de dades.
- Desavantatges:
- Pot ser afectada per valors extrems (outliers).
- Mediana
Definició
La mediana és el valor que separa la meitat superior dels valors de la meitat inferior. Si el nombre de valors és imparell, la mediana és el valor del mig. Si és parell, la mediana és la mitjana dels dos valors centrals.
Exemple
Considerem el conjunt de dades: 4, 8, 6, 5, 3, 7
Primer, ordenem les dades: 3, 4, 5, 6, 7, 8
- Nombre parell de valors: La mediana és la mitjana dels dos valors centrals (5 i 6). \[ \text{Mediana} = \frac{5 + 6}{2} = 5.5 \]
Avantatges i Desavantatges
- Avantatges:
- No es veu afectada per valors extrems.
- Representa millor el punt central en distribucions asimètriques.
- Desavantatges:
- No utilitza tota la informació del conjunt de dades.
- Moda
Definició
La moda és el valor que apareix amb més freqüència en un conjunt de dades. Un conjunt de dades pot tenir més d'una moda (bimodal, multimodal) o cap moda si tots els valors són únics.
Exemple
Considerem el conjunt de dades: 4, 8, 6, 5, 3, 7, 4
La moda és 4, ja que apareix dues vegades, més que qualsevol altre valor.
Avantatges i Desavantatges
- Avantatges:
- Fàcil de trobar.
- Pot ser utilitzada amb dades categòriques.
- Desavantatges:
- Pot no ser única o no existir.
- No utilitza tota la informació del conjunt de dades.
Comparació de les Mesures de Tendència Central
| Mesura | Definició | Avantatges | Desavantatges |
|---|---|---|---|
| Mitjana | Valor promig | Utilitza tota la informació | Afectada per valors extrems |
| Mediana | Valor central | No afectada per valors extrems | No utilitza tota la informació |
| Moda | Valor més freqüent | Fàcil de trobar, útil per dades categòriques | Pot no ser única o no existir |
Exercicis Pràctics
Exercici 1
Troba la mitjana, la mediana i la moda del següent conjunt de dades: 10, 15, 10, 20, 25, 30, 10
Solució
-
Mitjana: \[ \bar{x} = \frac{10 + 15 + 10 + 20 + 25 + 30 + 10}{7} = \frac{120}{7} \approx 17.14 \]
-
Mediana: Ordenem les dades: 10, 10, 10, 15, 20, 25, 30 La mediana és 15 (el valor central).
-
Moda: La moda és 10, ja que apareix tres vegades.
Exercici 2
Troba la mitjana, la mediana i la moda del següent conjunt de dades: 5, 8, 12, 20, 8, 15, 8
Solució
-
Mitjana: \[ \bar{x} = \frac{5 + 8 + 12 + 20 + 8 + 15 + 8}{7} = \frac{76}{7} \approx 10.86 \]
-
Mediana: Ordenem les dades: 5, 8, 8, 8, 12, 15, 20 La mediana és 8 (el valor central).
-
Moda: La moda és 8, ja que apareix tres vegades.
Resum
Les mesures de tendència central són eines essencials per resumir i comprendre dades. La mitjana proporciona una visió general utilitzant tots els valors, la mediana és robusta davant valors extrems i la moda identifica el valor més comú. Cada mesura té els seus avantatges i desavantatges, i la seva utilitat depèn del context i la distribució de les dades.