L'enquesta de satisfacció de NovaMarket ha tornat del camp: 640 respostes t'esperen a la safata d'entrada, juntament amb els tiquets de l'últim trimestre i els registres de lliuraments de l'e-commerce. La Marta passa per la teva taula i et resumeix l'encàrrec en una frase: «No em portis 640 números; porta-me'n un que els representi bé». Aquest és exactament el propòsit de les mesures de tendència central: condensar un conjunt de dades en un valor "típic" o "central". En aquesta lliçó aprendràs les tres principals —mitjana, mediana i moda—, les seves variants útils (mitjana ponderada, retallada i geomètrica) i, sobretot, el criteri per triar quina explicar a la Marta en cada ocasió, perquè triar malament no és un error tècnic menor: pot canviar una decisió de negoci.

1. Què és una mesura de tendència central?
2. La mitjana aritmètica
3. La mitjana ponderada
4. La mediana
5. La moda
6. L'efecte dels valors extrems i la mitjana retallada
7. Quina faig servir? Criteris d'elecció
8. La mitjana geomètrica per a taxes de creixement

Una mesura de tendència central és un únic número que intenta representar el "centre" d'un conjunt de dades, el valor al voltant del qual s'agrupen les observacions. És la forma més bàsica —i més utilitzada— de resum estadístic.

Que hi hagi tres mesures principals (i no una) ja et diu una cosa important: el "centre" d'unes dades no és un concepte únic. Cada mesura defineix el centre d'una manera diferent:

En molts conjunts de dades les tres coincideixen aproximadament i gairebé tant se val quina facis servir. Però en les dades reals de NovaMarket —amb tiquets ocasionals enormes, satisfaccions concentrades en notes altes— es poden separar molt, i llavors l'elecció importa.

La mitjana aritmètica (o simplement mitjana) és la suma de tots els valors dividida pel nombre de valors. Per a una mostra de \( n \) observacions \( x_1, x_2, \dots, x_n \):

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Recorda de la lliçó Conceptes Bàsics la notació: \( \bar{x} \) (es llegeix "x barra") és la mitjana d'una mostra (un estadístic), mentre que \( \mu \) és la mitjana de la població (un paràmetre).

La Marta vol un primer cop d'ull a l'import dels tiquets. Prens una petita mostra de 10 tiquets de la botiga Madrid-Centro d'ahir a la tarda (en euros):

\[ 12{,}50 \quad 18{,}90 \quad 22{,}40 \quad 27{,}30 \quad 29{,}80 \quad 31{,}60 \quad 38{,}20 \quad 45{,}70 \quad 52{,}10 \quad 289{,}00 \]

(El tiquet de 289,00 € és real: un bar del barri hi va fer la compra setmanal.)

Pas 1 — Sumar tots els valors:

\[ 12{,}50 + 18{,}90 + 22{,}40 + 27{,}30 + 29{,}80 + 31{,}60 + 38{,}20 + 45{,}70 + 52{,}10 + 289{,}00 = 567{,}50 \text{ €} \]

Pas 2 — Dividir pel nombre d'observacions (\( n = 10 \)):

\[ \bar{x} = \frac{567{,}50}{10} = 56{,}75 \text{ €} \]

La mitjana és 56,75 €. Fixa't en una cosa incòmoda: 9 dels 10 tiquets queden per sota de la mitjana. Aquell únic tiquet de 289 € ha "estirat" la mitjana cap amunt. Hi tornarem de seguida, perquè és la feblesa principal de la mitjana.

• Fa servir tota la informació: cada valor influeix en el resultat.
• És el punt d'equilibri: la suma de les desviacions respecte de la mitjana és sempre zero (les dades "pesen" igual a banda i banda).
• Permet recuperar el total: si el tiquet mitjà és de 32,40 € i ahir hi va haver 57.000 tiquets a tota la cadena, la venda total va ser \( 32{,}40 \times 57.000 = 1.846.800 \) €. Ni la mediana ni la moda permeten aquest càlcul; per això finances treballa gairebé sempre amb mitjanes.
• Només té sentit per a variables quantitatives (i, per la convenció vista a Tipus de Dades, per a ordinals tipus satisfacció 0–10 tractades com a interval).

De vegades no tots els valors han de pesar igual. La mitjana ponderada assigna a cada valor \( x_i \) un pes \( w_i \):

\[ \bar{x}w = \frac{\sum{i=1}^{n} w_i , x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

La Marta et passa el tiquet mitjà de tres botigues i et demana "el tiquet mitjà conjunt":

Temptació (incorrecta): fer la mitjana dels tres números sense més:

\[ \frac{34{,}10 + 31{,}90 + 27{,}80}{3} = \frac{93{,}80}{3} \approx 31{,}27 \text{ €} \]

Això tracta Cuenca (420 tiquets) com si pesés igual que Madrid-Centro (1.250 tiquets). No representa el tiquet "típic" d'un client qualsevol de les tres botigues.

Càlcul correcte (ponderant pel nombre de tiquets):

\[ \bar{x}_w = \frac{34{,}10 \times 1.250 + 31{,}90 \times 980 + 27{,}80 \times 420}{1.250 + 980 + 420} = \frac{42.625 + 31.262 + 11.676}{2.650} = \frac{85.563}{2.650} \approx 32{,}29 \text{ €} \]

La diferència (32,29 € davant de 31,27 €) sembla petita, però aplicada a milions de tiquets anuals es tradueix en previsions d'ingressos molt diferents. De fet, el tiquet mitjà de referència de NovaMarket, 32,40 €, és una mitjana ponderada de les 42 botigues: les botigues grans pesen més perquè emeten més tiquets.

Regla pràctica: sempre que facis la mitjana de mitjanes (de botigues, de canals, de mesos), pregunta't si els grups tenen mides diferents. Si en tenen, pondera.

La mediana és el valor que ocupa la posició central quan les dades estan ordenades de menor a major: deixa el 50 % de les observacions per sota i el 50 % per sobre.

Càlcul:

1. Ordena les dades.
2. Si \( n \) és senar, la mediana és el valor de la posició \( \frac{n+1}{2} \).
3. Si \( n \) és parell, és la mitjana dels dos valors centrals (posicions \( \frac{n}{2} \) i \( \frac{n}{2}+1 \)).

Les dades ja ordenades (n = 10, parell):

\[ 12{,}50 ;; 18{,}90 ;; 22{,}40 ;; 27{,}30 ;; \underbrace{29{,}80 ;; 31{,}60}_{\text{posicions 5 i 6}} ;; 38{,}20 ;; 45{,}70 ;; 52{,}10 ;; 289{,}00 \]

\[ \text{Mediana} = \frac{29{,}80 + 31{,}60}{2} = 30{,}70 \text{ €} \]

Compara: mitjana 56,75 €, mediana 30,70 €. La mediana descriu molt millor el tiquet "típic" d'aquella tarda, perquè no li afecta que el tiquet màxim sigui de 289 € o de 2.890 €: només compta quants valors hi ha a cada banda, no quant valen els extrems. Es diu que la mediana és una mesura robusta.

La mediana requereix poder ordenar les dades: serveix per a variables quantitatives i també per a ordinals (pots parlar de la satisfacció mediana), però no per a nominals (no existeix la "forma de pagament mediana").

La moda és el valor que apareix amb més freqüència. És l'única mesura de tendència central vàlida per a variables nominals.

Exemples a NovaMarket:

• En els tiquets d'ahir, la forma de pagament més freqüent va ser targeta (61 % dels tiquets): aquesta és la moda. No hi ha mitjana ni mediana possibles de la forma de pagament.
• La Marta revisa una submostra de 15 respostes de l'enquesta de satisfacció (escala 0–10):

La moda és 9 (5 respostes). La mediana és la posició \( (15+1)/2 = 8 \) de les dades ordenades, que també cau al 9. La mitjana és \( 124/15 \approx 8{,}27 \). Que les tres siguin tan a prop ja anticipa el que confirmaràs amb les 640 respostes: una distribució concentrada en notes altes.

Notes sobre la moda:

• Pot no existir (si cap valor no es repeteix) o haver-n'hi diverses (distribucions bimodals; les veuràs gràficament a Representació Gràfica de Dades).
• En variables contínues (imports exactes, temps) gairebé cap valor no es repeteix, així que la moda es calcula sobre dades agrupades en intervals (l'"interval modal") o directament no es fa servir.
• En negoci és molt expressiva: «el producte més venut», «la franja horària amb més afluència» són modes.

Ja ho has vist amb el tiquet de 289 €: la mitjana és sensible als valors extrems; la mediana, no. Comprovem-ho traient aquell tiquet:

Un sol valor va moure la mitjana 25,81 € (de 30,94 a 56,75) i la mediana amb prou feines 0,90 €. En variables com imports de compra, salaris, patrimonis o temps d'espera —on uns quants valors enormes són normals— la mitjana pot donar una imatge enganyosa del cas típic.

Un compromís entre totes dues és la mitjana retallada (trimmed mean): s'elimina un petit percentatge dels valors més baixos i més alts (per exemple, el 10 % de cada extrem) i es fa la mitjana de la resta. Amb els nostres 10 tiquets, retallar el 10 % per cada banda significa descartar el mínim (12,50) i el màxim (289,00):

\[ \bar{x}_{\text{ret}} = \frac{18{,}90 + 22{,}40 + 27{,}30 + 29{,}80 + 31{,}60 + 38{,}20 + 45{,}70 + 52{,}10}{8} = \frac{266{,}00}{8} = 33{,}25 \text{ €} \]

Aquí n'hi ha prou que sàpigues que existeix i per a què serveix: és habitual en indicadors oficials i en esports (puntuacions de jutges). En aquest curs treballarem normalment amb mitjana i mediana.

Dues preguntes decideixen gairebé sempre l'elecció: de quin tipus és la variable? i hi ha asimetria o valors extrems?

Una pista diagnòstica molt útil: compara mitjana i mediana.

• Mitjana ≈ mediana → distribució aproximadament simètrica; la mitjana és segura.
• Mitjana clarament més gran que la mediana → hi ha valors alts que l'estiren cap amunt (asimetria cap a la dreta, típica d'imports).
• Mitjana clarament més petita que la mediana → valors baixos que l'estiren cap avall (asimetria cap a l'esquerra, típica de notes de satisfacció altes: la mitjana 8,1 de l'enquesta quedarà per sota de la seva mediana).

I un consell professional: quan la diferència entre totes dues sigui gran, informa de les dues. «El tiquet mitjà va ser de 56,75 €, però el tiquet medià va ser de 30,70 €: la mitjana està inflada per unes quantes compres molt grans» és una frase que a la Marta li dona més informació que qualsevol dels dos números per separat.

Hi ha un cas en què la mitjana aritmètica falla estrepitosament: fer la mitjana de taxes de variació que s'apliquen en cadena (creixements percentuals any rere any, rendibilitats, etc.).

Les vendes de la botiga en línia de NovaMarket van evolucionar així:

Mitjana aritmètica de les taxes: \( (20 + 50 - 30)/3 = 13{,}3 \) % anual. Però si les vendes haguessin crescut de debò un 13,3 % cada any, l'any 3 serien \( 1.000.000 \times 1{,}133^3 \approx 1.454.000 \) €… i en realitat són 1.260.000 €. La mitjana aritmètica sobreestima el creixement, perquè els percentatges es componen multiplicant-se, no sumant-se.

La mesura correcta és la mitjana geomètrica dels factors de creixement:

\[ \bar{x}_G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \]

Pas 1 — Multiplicar els factors: \( 1{,}20 \times 1{,}50 \times 0{,}70 = 1{,}26 \)

Pas 2 — Arrel n-èsima (n = 3 anys): \( \bar{x}_G = \sqrt[3]{1{,}26} \approx 1{,}080 \)

El creixement mitjà anual real és del 8,0 %. Comprovació: \( 1.000.000 \times 1{,}080^3 \approx 1.259.700 \) €, que coincideix (llevat d'arrodoniments) amb els 1.260.000 € reals.

Regla: per fer la mitjana de percentatges de variació encadenats, converteix cada taxa en factor (\( 1 + \text{taxa} \)), calcula la mitjana geomètrica dels factors i torna a restar 1.

• Informar només de la mitjana en variables asimètriques. Amb imports, despeses o temps, acompanya sempre la mitjana de la mediana (o fes servir directament la mediana). Si mitjana ≫ mediana, digues-ho explícitament.
• Fer la mitjana de mitjanes sense ponderar. La "mitjana dels tiquets mitjans de les 42 botigues" no és el tiquet mitjà de NovaMarket, tret que totes les botigues emetin el mateix nombre de tiquets (no ho fan). Pondera per mida.
• Calcular mitjanes de variables nominals codificades amb números. Si "targeta = 1, efectiu = 2, app = 3", una mitjana d'1,7 no significa res. Els codis numèrics no converteixen una variable nominal en quantitativa (repassa Tipus de Dades).
• Fer servir la mitjana aritmètica amb taxes de creixement. Per a variacions encadenades, mitjana geomètrica dels factors.
• Oblidar el context de la unitat d'anàlisi. «La despesa mitjana és de 32,40 €» (per tiquet) i «la despesa mitjana és de 187 €» (per client i mes) poden conviure; especifica sempre per quina unitat estàs fent la mitjana.
• Consell: abans de calcular res, ordena les dades (encara que sigui mentalment) i mira els extrems. Deu segons mirant el màxim i el mínim estalvien moltes interpretacions errònies.

Una mostra de 8 tiquets de la botiga Sevilla-Nervión (en euros): 8,90 — 15,40 — 21,70 — 26,30 — 28,10 — 34,60 — 41,00 — 196,00.

1. Calcula la mitjana i la mediana.
2. Quina de les dues comunicaries a la Marta com a "tiquet típic" d'aquesta mostra i per què?
3. Recalcula la mitjana sense el tiquet de 196,00 €. Quant canvia? I la mediana?

Les 640 respostes de l'enquesta de satisfacció es reparteixen segons els estrats per canal dissenyats a la lliçó Recollida de Dades i Mostreig: 448 de clients de botiga física, 128 de clients en línia i 64 de clients de l'app. Les mitjanes de satisfacció per canal són:

Calcula la satisfacció mitjana global de les 640 respostes. Per què seria incorrecte calcular \( (8{,}3 + 7{,}6 + 7{,}9)/3 \)?

El nombre de socis del Club Nova va variar un +15 % el primer any, un +5 % el segon i un −8 % el tercer.

1. Calcula el creixement mitjà anual amb la mitjana geomètrica.
2. Compara'l amb la mitjana aritmètica de les taxes. Quina faries servir per projectar el nombre de socis a futur?

Exercici 1:

1. Suma: \( 8{,}90 + 15{,}40 + 21{,}70 + 26{,}30 + 28{,}10 + 34{,}60 + 41{,}00 + 196{,}00 = 372{,}00 \) €. Mitjana: \( 372{,}00 / 8 = 46{,}50 \) €. Mediana (n = 8, parell; valors centrals a les posicions 4 i 5): \( (26{,}30 + 28{,}10)/2 = 27{,}20 \) €.
2. La mediana (27,20 €): la mitjana (46,50 €) queda per sobre de 7 dels 8 tiquets, arrossegada per la compra de 196 €. Com a "tiquet típic" és enganyosa. (Idealment, comunica totes dues i explica la diferència.)
3. Sense l'extrem: \( 176{,}00 / 7 \approx 25{,}14 \) €. La mitjana cau 21,36 € (de 46,50 a 25,14). La nova mediana és el 4t valor de 7: 26,30 € — amb prou feines es mou (0,90 €). Error freqüent: oblidar reordenar i recomptar posicions en treure una dada; la posició de la mediana depèn de \( n \).

Exercici 2:

\[ \bar{x}_w = \frac{8{,}3 \times 448 + 7{,}6 \times 128 + 7{,}9 \times 64}{640} = \frac{3.718{,}4 + 972{,}8 + 505{,}6}{640} = \frac{5.196{,}8}{640} \approx 8{,}1 \]

La mitjana global és 8,1 (coincideix amb la xifra oficial de l'enquesta). La mitjana sense ponderar, \( (8{,}3+7{,}6+7{,}9)/3 = 7{,}93 \), és incorrecta perquè dona als 64 enquestats de l'app el mateix pes que als 448 de botiga: infravalora la satisfacció global. Error freqüent: dividir entre 3 (nombre de grups) en lloc d'entre 640 (suma de pesos).

Exercici 3:

1. Factors: 1,15, 1,05 i 0,92. Producte: \( 1{,}15 \times 1{,}05 \times 0{,}92 = 1{,}1109 \). Mitjana geomètrica: \( \sqrt[3]{1{,}1109} \approx 1{,}0357 \) → creixement mitjà anual ≈ 3,6 %.
2. Mitjana aritmètica: \( (15 + 5 - 8)/3 = 4{,}0 \) %. Per projectar cal fer servir la geomètrica (3,6 %): és l'única taxa constant que, aplicada tres anys, reprodueix el creixement total real (+11,1 %). Error freqüent: fer la mitjana dels percentatges directament (\( (0{,}15+0{,}05-0{,}08)/3 \)) en lloc dels factors; amb taxes negatives l'error s'engrandeix.

Ja saps resumir un conjunt de dades en un valor central i, més important, saps triar aquest valor: mitjana per a totals i dades simètriques, mitjana ponderada quan els grups pesen diferent, mediana quan hi ha asimetria o extrems, moda per a variables nominals i mitjana geomètrica per a creixements encadenats. També has après un reflex professional: comparar mitjana i mediana com a primer diagnòstic de la forma de les dades.

Però un valor central, per ben triat que estigui, explica només la meitat de la història. Dues botigues de NovaMarket poden vendre de mitjana exactament el mateix i ser, l'una, un negoci estable i previsible i, l'altra, una muntanya russa que complica l'estoc i les plantilles. Per distingir-les necessites mesurar quant s'allunyen les dades del seu centre: això són les Mesures de Dispersió, el tema de la lliçó següent.