A la lliçó d'Errors, Potència i Mida Mostral vam deixar un deute pendent: quan vam voler comparar les 42 botigues de NovaMarket a base de contrastos t de dues en dues, vam descobrir que multiplicar comparacions dispara la probabilitat de falses alarmes, i vam prometre una eina que compara molts grups alhora amb un únic contrast. Aquesta eina és l'Anàlisi de la Variància (ANOVA, per ANalysis Of VAriance), i la seva lògica és una paradoxa elegant: per comparar mitjanes, analitza variàncies — en concret, compara quant varien els grups entre si amb quant varia la gent dins de cada grup. En aquesta lliçó construirem aquesta lògica des de zero, calcularem a mà una taula ANOVA completa amb dades de satisfacció de tres formats de botiga, aprendrem a llegir la taula de la distribució F, repassarem els supòsits del mètode i veurem què cal fer després de rebutjar: les comparacions post-hoc i la mida de l'efecte.

1. Per què no fer molts contrastos t: el deute del Mòdul 5
2. La lògica de l'ANOVA: variabilitat entre grups vs dins dels grups
3. Hipòtesis i dades del cas: satisfacció en tres formats de botiga
4. La taula ANOVA pas a pas: SC, gl, QM i F
5. La distribució F i com llegir-ne la taula
6. Supòsits de l'ANOVA (versió operativa)
7. Després de rebutjar: comparacions post-hoc (Tukey i Bonferroni)
8. Com de gran és l'efecte? Eta quadrat
9. Fins on arriba aquesta lliçó: dos factors i alternatives no paramètriques

La Marta vol saber si la satisfacció del client depèn del format de botiga. NovaMarket opera tres formats: Express (urbà, petit), Estàndard (supermercat de barri) i Gran Superfície. Comparar tres grups amb contrastos t exigeix tres comparacions (Express–Estàndard, Express–Gran Superfície, Estàndard–Gran Superfície), i ja sabem què significa això: si cada contrast té un 5 % de risc de falsa alarma, la probabilitat que almenys una de les tres doni un fals positiu és

\[ 1 - 0{,}95^3 = 1 - 0{,}857 = 0{,}143 \]

un 14,3 % — gairebé el triple del 5 % pactat. Amb més grups el problema explota (recordem l'experiment mental de les 42 botigues del Mòdul 5, amb un 88 % de probabilitat d'alguna falsa alarma). L'ANOVA resol el problema d'arrel: planteja una única hipòtesi global amb un únic α:

• \( H_0: \mu_{\text{Express}} = \mu_{\text{Estàndard}} = \mu_{\text{Gran Sup.}} \) — totes les mitjanes són iguals; el format no hi influeix
• \( H_1: \) almenys una mitjana és diferent

Atenció al matís de \( H_1 \): rebutjar \( H_0 \) diu que «no totes són iguals», no quines difereixen. Aquest segon pas vindrà després, amb les comparacions post-hoc.

Com es detecta amb variàncies si unes mitjanes difereixen? Pensa en dos escenaris amb les mateixes tres mitjanes mostrals (7, 8 i 9):

• Escenari A: dins de cada format, les botigues puntuen gairebé idèntic (totes les Express entre 6,8 i 7,2…). Les diferències entre els grups (7 vs 8 vs 9) destaquen nítides sobre aquest silenci intern: semblen reals.
• Escenari B: dins de cada format hi ha de tot (botigues Express entre 4 i 10…). Unes mitjanes de 7, 8 i 9 podrien ser perfectament fruit de l'atzar mostral: el senyal s'ofega en el soroll.

L'ANOVA formalitza aquesta intuïció amb un quocient senyal/soroll:

\[ F = \frac{\text{variabilitat ENTRE grups (senyal: allò que separa les mitjanes)}}{\text{variabilitat DINS dels grups (soroll: allò que varia la gent per atzar)}} \]

• Si \( H_0 \) és certa, totes dues variabilitats estimen el mateix (la variància natural de la població) i F rondarà el valor 1.
• Si algun grup té una mitjana diferent, la variabilitat entre s'infla i F creix molt per sobre d'1.

La pregunta «quant ha de valer F per rebutjar?» la respondrà la distribució F. Abans, els càlculs.

L'equip de la Marta pren una mostra de 5 botigues de cada format i calcula la satisfacció mitjana dels clients de cada botiga (escala 0–10, arrodonida a enters per al càlcul a mà):

En total \( N = 15 \) observacions, \( k = 3 \) grups, i la mitjana global és \( \bar{x} = (35+40+45)/15 = 120/15 = 8{,}0 \). Les mitjanes mostrals difereixen (7, 8, 9), però ja sabem que això sol no basta: cal pesar el senyal contra el soroll.

El cor de l'ANOVA és la mateixa descomposició de variabilitat que vam veure a la regressió: la suma de quadrats total es parteix en dos trossos.

\[ \underbrace{\sum_{j}\sum_{i} (x_{ij} - \bar{x})^2}{\text{SC Total}} ;=; \underbrace{\sum{j} n_j (\bar{x}j - \bar{x})^2}{\text{SC Entre}} ;+; \underbrace{\sum_{j}\sum_{i} (x_{ij} - \bar{x}j)^2}{\text{SC Dins}} \]

Pas 1 — SC Entre (cada mitjana de grup davant de la global, ponderada per la seva mida):

\[ \text{SC}_{\text{Entre}} = 5(7-8)^2 + 5(8-8)^2 + 5(9-8)^2 = 5 + 0 + 5 = 10 \]

Pas 2 — SC Dins (cada observació davant de la mitjana del seu grup):

\[ \text{SC}{\text{Dins}} = 2 + 2 + 2 = 6 \qquad\qquad \text{SC}{\text{Total}} = 10 + 6 = 16 ; \checkmark \]

Pas 3 — Graus de llibertat. Entre: \( k - 1 = 2 \). Dins: \( N - k = 12 \). (Total: \( N - 1 = 14 = 2 + 12 \), la comprovació de sempre.)

Pas 4 — Quadrats mitjans: cada SC dividida pels seus gl, cosa que la converteix en una variància comparable:

\[ \text{QM}{\text{Entre}} = \frac{10}{2} = 5{,}0 \qquad\qquad \text{QM}{\text{Dins}} = \frac{6}{12} = 0{,}5 \]

Pas 5 — L'estadístic F i la taula completa, en el format estàndard amb què la presenta qualsevol informe o programa:

El senyal és deu vegades el soroll. És prou per rebutjar?

Sota \( H_0 \), el quocient \( F = \text{QM}{\text{Entre}}/\text{QM}{\text{Dins}} \) segueix la distribució F (de Fisher), que és nova al curs, així que presentem-la bé:

• És la distribució d'un quocient de dues variàncies: només pren valors positius i és asimètrica amb cua a la dreta.
• Depèn de dos graus de llibertat: els del numerador (entre grups, aquí 2) i els del denominador (dins, aquí 12). S'escriu \( F_{2;,12} \).
• El contrast és sempre unilateral dret: només els F grans (molt senyal davant del soroll) desmenteixen \( H_0 \).

Com llegir la taula F: a diferència de la taula t (una fila per gl), la taula F és una graella de doble entrada per a un α fix (hi ha una taula per a α = 0,05, una altra per a 0,01…). A la taula d'α = 0,05: busca la columna dels gl del numerador (2) i la fila dels gl del denominador (12); l'encreuament dona el valor crític. Un extracte:

El crític és \( F_{0{,}05;,2;,12} = 3{,}89 \). Com que el nostre \( F = 10{,}0 > 3{,}89 \), rebutgem \( H_0 \) al 5 % (de fet també a l'1 %: \( F_{0{,}01;,2;,12} = 6{,}93 \); el valor p és < 0,01). Conclusió per a la Marta: la satisfacció no és la mateixa en els tres formats — el format de botiga importa. Compte amb l'ordre dels gl: \( F_{2;12} \neq F_{12;2} \); el numerador sempre primer.

Com tot contrast, l'ANOVA es recolza en supòsits. En versió pràctica:

Si la normalitat falla greument amb mostres petites, o les dades són ordinals, existeix una alternativa per rangs (la prova de Kruskal-Wallis), que veurem entre els Mètodes No Paramètrics.

L'F significatiu diu «no totes les mitjanes són iguals», però la Marta preguntarà de seguida: «quines difereixen?». Respondre exigeix tornar a les comparacions per parelles — però ara amb protecció contra la inflació de l'error de tipus I. Les dues estratègies més comunes:

• Correcció de Bonferroni (ja la coneixem del Mòdul 5): repartir α entre les \( m \) comparacions, exigint a cadascuna \( \alpha' = \alpha/m \). Amb 3 comparacions, \( \alpha' = 0{,}05/3 = 0{,}0167 \). Senzilla i vàlida sempre, tot i que conservadora.
• Prova HSD de Tukey: dissenyada específicament per a «totes les parelles després d'un ANOVA». Calcula una diferència mínima honesta (HSD) a partir del QM Dins i del nombre de grups: qualsevol parella de mitjanes que difereixi més que l'HSD es declara diferent, mantenint el 5 % d'error global per al conjunt de comparacions. És l'opció estàndard dels programes estadístics i una mica més potent que Bonferroni en aquest ús.

Apliquem Bonferroni al nostre cas. L'error típic d'una diferència de mitjanes, fent servir el QM Dins com a variància comuna, és

\[ \text{ET} = \sqrt{\text{QM}_{\text{Dins}}\left(\tfrac{1}{n_1}+\tfrac{1}{n_2}\right)} = \sqrt{0{,}5 \times \tfrac{2}{5}} = \sqrt{0{,}2} = 0{,}447 \]

(Tukey arriba aquí a la mateixa conclusió.) El resultat és molt instructiu: l'ANOVA global és rotund, i el post-hoc localitza amb claredat la diferència entre els formats extrems (Express vs Gran Superfície), mentre que les diferències d'1 punt entre formats veïns, amb només 5 botigues per grup, no assoleixen la significació corregida — són suggerents, però caldrien més botigues per confirmar-les (potència, com vam veure a 05-04). Informe honest per a la Marta: «el format influeix en la satisfacció; la bretxa demostrada és entre Express (7,0) i Gran Superfície (9,0); les comparacions intermèdies apunten en la mateixa direcció però requereixen més mostra».

Significatiu, sí — però important? Igual que al Mòdul 5 vam distingir significació de rellevància, l'ANOVA té la seva mesura de mida de l'efecte: eta quadrat, la proporció de la variabilitat total atribuïble al factor:

\[ \eta^2 = \frac{\text{SC}{\text{Entre}}}{\text{SC}{\text{Total}}} = \frac{10}{16} = 0{,}625 \]

El format de botiga explica el 62,5 % de la variabilitat de la satisfacció a la mostra — un efecte gran (orientativament: ~0,01 petit, ~0,06 mitjà, ~0,14 gran). Fixa't en el paral·lelisme exacte amb l'R² de la regressió: mateix concepte, factor categòric en lloc de variable contínua.

El que hem construït aquí és l'ANOVA d'un factor (una sola variable d'agrupació). Existeix l'ANOVA de dos factors, que analitza simultàniament, per exemple, format i regió — inclosa la possibilitat d'interacció (que l'efecte del format sigui diferent segons la regió) —; la seva mecànica estén la mateixa descomposició de sumes de quadrats i queda fora del nostre abast introductori. I quan els supòsits no s'aguanten, l'alternativa per rangs (Kruskal-Wallis) espera als Mètodes No Paramètrics.

• Fer contrastos t per parelles sense correcció en lloc d'un ANOVA (o després d'un). És la fàbrica de falses alarmes del Mòdul 5; l'ANOVA existeix precisament per evitar-la.
• Interpretar el rebuig com a «totes les mitjanes difereixen». \( H_1 \) només afirma que almenys una difereix; sense post-hoc no saps quina. I al revés: no rebutjar no demostra que siguin iguals.
• Invertir els graus de llibertat en llegir la taula F. \( F_{2;12} = 3{,}89 \) però \( F_{12;2} = 19{,}4 \): numerador (entre) primer, sempre.
• Buscar la cua esquerra. El contrast F de l'ANOVA és unilateral dret; un F proper a 0 no «demostra igualtat», només indica grups anormalment semblants (a vegades, símptoma de dades manipulades o dependents).
• Oblidar comprovar les variàncies. Si un grup té una dispersió molt més gran (regla ràpida: s màxima > 2 × s mínima), l'F perd fiabilitat; considera transformar les dades o el mètode no paramètric.
• Quedar-se en el valor p sense mida de l'efecte. Amb mostres enormes, diferències trivials donen F significatius. Acompanya sempre el veredicte amb \( \eta^2 \) i amb les mitjanes dels grups en unitats reals.

Exercici 1. Operacions prova tres configuracions de personal de caixa i mesura el temps mitjà d'espera (minuts) en 4 botigues per configuració:

Construeix la taula ANOVA completa i decideix al 5 % si la configuració hi influeix (\( F_{0{,}05;,2;,9} = 4{,}26 \)). Calcula també \( \eta^2 \).

Exercici 2. Un analista júnior, en lloc de l'ANOVA de l'exercici 1, executa els tres contrastos t possibles al 5 % i presenta com a troballa l'únic que va sortir significatiu. Explica els dos errors metodològics i calcula la probabilitat d'almenys una falsa alarma en el seu enfocament suposant que \( H_0 \) fos certa en les tres comparacions.

Exercici 3. D'un informe arriba aquesta taula ANOVA incompleta sobre la despesa mitjana dels socis del Club Nova en 4 segments d'antiguitat (6 socis per segment, N = 24):

Completa les caselles i decideix al 5 % (\( F_{0{,}05;,3;,20} = 3{,}10 \)).

Exercici 1. Mitjana global = (20+28+24)/12 = 6. \( \text{SC}{\text{Entre}} = 4(5-6)^2 + 4(7-6)^2 + 4(6-6)^2 = 8 \). Dins: A: 1+0+1+0 = 2; B: 1+0+0+1 = 2; C: 1+0+0+1 = 2; \( \text{SC}{\text{Dins}} = 6 \). Taula: SC 8 i 6; gl 2 i 9; QM 4 i 0,667; \( F = 4/0{,}667 = 6{,}0 \). Com que 6,0 > 4,26, es rebutja \( H_0 \): la configuració influeix en l'espera. \( \eta^2 = 8/14 = 0{,}57 \). (De cara a l'acció, el post-hoc apuntaria a la diferència A vs B — i compte amb la lectura de negoci: el «reforç» B és el que mostra MÉS espera!) Error freqüent: oblidar multiplicar per \( n_j = 4 \) a la SC Entre, o fer servir N − 1 = 11 com a gl del denominador en lloc de N − k = 9.

Exercici 2. Errors: (1) inflació de l'error de tipus I — tres contrastos al 5 % acumulen \( 1 - 0{,}95^3 = 14{,}3,% \) de probabilitat d'alguna falsa alarma, gairebé el triple del que s'havia pactat; (2) informe selectiu (p-hacking, vist a 05-04): presentar només el contrast significatiu amaga el procés de cerca i converteix un possible atzar en «troballa». El correcte: ANOVA global primer i, només si rebutja, post-hoc amb correcció (Bonferroni: cada comparació al 0,05/3 = 0,0167), informant de totes tres. Error freqüent: creure que la correcció és opcional si «només» són 3 comparacions — el 14,3 % ja gairebé triplica el risc nominal.

Exercici 3. \( \text{SC}_{\text{Dins}} = 210 - 90 = 120 \). gl: entre = 3, dins = 20, total = 23. QM: entre = 90/3 = 30; dins = 120/20 = 6. \( F = 30/6 = 5{,}0 \). Com que 5,0 > 3,10, es rebutja \( H_0 \): la despesa mitjana no és igual en els quatre segments d'antiguitat (amb \( \eta^2 = 90/210 = 0{,}43 \), efecte gran). Faltaria un post-hoc per saber quins segments difereixen. Error freqüent: calcular els gl entre com a k = 4 en lloc de k − 1 = 3, amb la qual cosa tots els QM i l'F surten malament en cascada.

L'ANOVA salda el deute del Mòdul 5: en lloc d'una perillosa bateria de contrastos t, un únic contrast global que compara la variabilitat entre grups amb la variabilitat dins d'ells mitjançant l'estadístic F — en el nostre cas, F = 10 davant d'un crític de 3,89: el format de botiga influeix en la satisfacció, l'efecte és gran (η² = 0,625) i el post-hoc amb Bonferroni localitza la diferència demostrada entre Express i Gran Superfície. Hem afegit la distribució F i la seva taula de doble entrada al nostre arsenal, juntament amb la disciplina de comprovar supòsits i d'acompanyar cada valor p amb la seva mida de l'efecte. Però l'ANOVA exigeix una variable resposta quantitativa (satisfacció, temps, euros). I quan el que volem creuar són dues variables categòriques — canal de compra i mètode de pagament, franja d'edat i baixa del club —, on no hi ha mitjanes a comparar sinó freqüències a comptar? Per a això necessitem la prova khi quadrat, protagonista de l'Anàlisi de Dades Categòriques amb què tanquem el mòdul.