Al final del mòdul anterior va quedar una pregunta a l'aire: el 8,1 de satisfacció mitjana surt de 640 respostes dels ≈380.000 socis del Club Nova… fins a quin punt ens en podem refiar? Per respondre-la necessitem un llenguatge que permeti parlar amb rigor d'allò incert, i aquest llenguatge és la probabilitat. En aquesta lliçó en construïm els fonaments: què és un experiment aleatori, com es descriuen els seus resultats possibles (espai mostral i esdeveniments), quines operacions podem fer amb aquests esdeveniments, i les tres maneres clàssiques d'assignar un número a la frase «és probable que». Tot amb les dades de NovaMarket que ja coneixes: tiquets, pagaments amb targeta, categories de producte i l'enquesta de satisfacció.

1. Experiment aleatori i espai mostral
2. Esdeveniments: elemental, compost, segur i impossible
3. Operacions amb esdeveniments: unió, intersecció, complementari i incompatibilitat
4. Els tres enfocaments de la probabilitat: clàssic, freqüentista i subjectiu
5. Els axiomes de Kolmogórov (versió lleugera)
6. Probabilitats a partir de freqüències relatives a NovaMarket

Un experiment aleatori és qualsevol procés el resultat del qual no podem predir amb certesa abans de dur-lo a terme, tot i que sí que en coneixem el conjunt de resultats possibles. El contrari és un experiment determinista: si la Marta multiplica el tiquet mitjà pel nombre de tiquets d'ahir, el resultat és sempre el mateix; no hi ha atzar.

A NovaMarket hi ha experiments aleatoris pertot arreu:

• Triar un tiquet a l'atzar del dia i observar com es va pagar (targeta, efectiu, altres).
• Triar un soci del Club Nova a l'atzar i observar si va respondre l'enquesta de satisfacció.
• Observar quantes hores triga a lliurar-se la propera comanda en línia.
• Preguntar a un client de Madrid-Centro si recomanaria la botiga.

L'espai mostral, que es denota \( \Omega \) (omega), és el conjunt de tots els resultats possibles de l'experiment. Cada resultat individual s'anomena esdeveniment elemental.

Fixa't que definir bé \( \Omega \) és el primer pas de qualsevol anàlisi probabilística: si la Marta pregunta «quina probabilitat hi ha que un tiquet es pagui amb targeta?», primer cal acordar que els resultats possibles són {targeta, efectiu, altres} i no, per exemple, {targeta, no targeta} — totes dues opcions són vàlides, però canvien els càlculs i cal ser coherent.

Un esdeveniment és qualsevol subconjunt de l'espai mostral: una afirmació sobre el resultat que pot passar o no passar. Se sol denotar amb lletres majúscules: \( A \), \( B \), \( C \)…

Amb l'experiment «nota de satisfacció d'una resposta triada a l'atzar» (\( \Omega = {0,1,\dots,10} \)):

• Esdeveniment elemental: consta d'un únic resultat. \( A = {10} \): «la nota és exactament 10».
• Esdeveniment compost: consta de diversos resultats. \( B = {8, 9, 10} \): «la nota és alta (≥ 8)». \( C = {0,1,2,3,4,5} \): «la nota és baixa (≤ 5)», el grup de detractors que ja vam identificar al Mòdul 2.
• Esdeveniment segur: és el mateix \( \Omega \). «La nota és entre 0 i 10» passa sempre.
• Esdeveniment impossible: és el conjunt buit, \( \varnothing \). «La nota és 12» no pot passar mai.

Diem que un esdeveniment ocorre quan el resultat de l'experiment hi pertany. Si la resposta triada té un 9, han ocorregut alhora \( B \) (perquè \( 9 \in B \)) i l'esdeveniment segur, però no pas \( A \) ni \( C \).

Els esdeveniments són conjunts, així que es combinen amb les operacions de conjunts. És el vocabulari que farem servir constantment a la lliçó següent.

I una relació important entre dos esdeveniments:

• \( A \) i \( B \) són incompatibles (o mútuament excloents, o disjunts) quan no poden ocórrer alhora: \( A \cap B = \varnothing \).

Triem a l'atzar una de les 640 respostes de l'enquesta. Definim:

• \( T \) = «la resposta va arribar pel canal botiga»
• \( O \) = «la resposta va arribar pel canal en línia»
• \( S \) = «la nota és ≥ 8» (satisfet)

Aleshores:

• \( T \cup O \): la resposta va arribar per botiga o per en línia (és a dir, per qualsevol canal que no sigui l'app).
• \( T \cap S \): la resposta va arribar per botiga i a més la nota és ≥ 8. És un esdeveniment perfectament possible: canal i nota són característiques diferents del mateix resultat.
• \( S^{c} \): la nota és ≤ 7.
• \( T \) i \( O \) són incompatibles: una mateixa resposta no pot haver arribat per dos canals alhora. En canvi, \( T \) i \( S \) no són incompatibles.

Visualment, un diagrama ajuda a fixar la diferència entre esdeveniments incompatibles (cercles separats) i compatibles (cercles que se solapen):

Dues identitats útils que convé memoritzar (són les lleis de De Morgan, tot i que el nom importa menys que la idea):

\[ (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \qquad\qquad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} \]

En paraules: «no (A o B)» vol dir «ni A ni B»; i «no (A i B)» vol dir «falla almenys un dels dos».

La probabilitat d'un esdeveniment \( A \), escrita \( P(A) \), és un número entre 0 i 1 que mesura com de versemblant és que ocorri: 0 = impossible, 1 = segur, 0,5 = tan probable com improbable. La pregunta és d'on surt aquest número. Hi ha tres respostes clàssiques, i totes tres es fan servir a l'empresa.

Quan tots els esdeveniments elementals són igual de probables (per simetria: daus, monedes, sortejos):

\[ P(A) = \frac{\text{nombre de casos favorables a } A}{\text{nombre de casos possibles}} \]

Exemple NovaMarket. Per al sorteig mensual del Club Nova es tria un guanyador completament a l'atzar entre els 380.000 socis. La probabilitat que guanyi un soci concret és \( 1/380.000 \approx 0{,}0000026 \). I si, per exemple, 9.500 socis estan donats d'alta a la botiga de Cuenca, la probabilitat que el guanyador sigui de Cuenca és \( 9.500/380.000 = 0{,}025 \), un 2,5 %: casos favorables (socis de Cuenca) entre casos possibles (tots els socis), perquè el sorteig garanteix que tots són equiprobables.

La limitació és evident: gairebé res al negoci és «equiprobable per simetria». La probabilitat que un tiquet es pagui amb targeta no és 1/3 pel fet que hi hagi tres mètodes de pagament; els tres resultats no pesen igual. Aquí entra el segon enfocament.

La probabilitat de \( A \) és el valor al qual s'aproxima la seva freqüència relativa quan l'experiment es repeteix moltes vegades:

\[ P(A) \approx \frac{\text{nombre de vegades que ocorre } A}{\text{nombre de repeticions}} \quad \text{(amb moltes repeticions)} \]

Aquesta és la connexió directa amb el Mòdul 2: les freqüències relatives de les taules de freqüències són, amb moltes dades, estimacions de probabilitats. Que el 61 % dels tiquets de NovaMarket es paguin amb targeta —calculat sobre milions de tiquets— ens autoritza a dir: «la probabilitat que el proper tiquet es pagui amb targeta és aproximadament 0,61».

La garantia teòrica que això funciona s'anomena llei dels grans nombres: en augmentar el nombre de repeticions, la freqüència relativa s'estabilitza al voltant de la probabilitat vertadera. Amb 10 tiquets podem observar un 40 % de targeta per pur atzar; amb 100.000 tiquets, la proporció observada quedarà gairebé amb tota seguretat enganxada al 61 %.

De vegades l'experiment no és repetible i tot i així necessitem una probabilitat. «Quina probabilitat hi ha que l'obertura de la botiga 43 a València sigui rendible el primer any?» no admet freqüències: aquella botiga només l'obrirem una vegada. La probabilitat subjectiva és el grau de creença d'un expert, expressat com un número entre 0 i 1, basat en la seva informació i experiència. La Marta pot dir «li dono un 0,7» i aquest número és útil per decidir, sempre que sigui coherent (per exemple, que les probabilitats dels escenaris possibles sumin 1).

Sigui quin sigui l'enfocament, perquè un conjunt de números mereixi dir-se «probabilitat» ha de complir tres regles mínimes, formulades per Andrei Kolmogórov el 1933. No cal memoritzar la formalització completa; sí les tres idees:

1. No negativitat: \( P(A) \geq 0 \) per a tot esdeveniment \( A \). No existeixen probabilitats negatives.
2. Normalització: \( P(\Omega) = 1 \). L'esdeveniment segur té probabilitat 1.
3. Additivitat: si \( A \) i \( B \) són incompatibles, \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). Les probabilitats d'esdeveniments que no poden coincidir se sumen.

D'aquests tres axiomes se'n dedueixen conseqüències que fem servir constantment:

• \( P(\varnothing) = 0 \): l'esdeveniment impossible té probabilitat 0.
• \( P(A^{c}) = 1 - P(A) \): la regla del complementari, la més rendible de totes a la pràctica.
• \( 0 \leq P(A) \leq 1 \): cap probabilitat no supera 1.

Comprovació amb NovaMarket. La quota de venda per categoria (fresca 38 %, rebost 27 %, begudes 14 %, drogueria 12 %, altres 9 %) funciona com a assignació de probabilitats per a l'experiment «categoria d'un euro de venda triat a l'atzar»: totes són ≥ 0 i sumen \( 0{,}38+0{,}27+0{,}14+0{,}12+0{,}09 = 1{,}00 \). ✔ I com que «fresca» i «begudes» són incompatibles (cada euro es classifica en una sola categoria), \( P(\text{fresca} \cup \text{begudes}) = 0{,}38 + 0{,}14 = 0{,}52 \).

Tanquem la lliçó aplicant l'enfocament freqüentista a xifres que ja coneixem del Mòdul 2. Triem a l'atzar una de les 640 respostes de l'enquesta de satisfacció:

• \( P(\text{nota} \geq 8) = 0{,}712 \) (el 71,2 % de les respostes).
• \( P(\text{nota} \leq 5) = 0{,}075 \) (els detractors).
• Pel complementari: \( P(\text{nota} \geq 6) = 1 - 0{,}075 = 0{,}925 \).
• \( P(\text{canal} = \text{botiga}) = 448/640 = 0{,}70 \); \( P(\text{en línia}) = 128/640 = 0{,}20 \); \( P(\text{app}) = 64/640 = 0{,}10 \). Comprovació axiomàtica: \( 0{,}70+0{,}20+0{,}10 = 1 \). ✔

I amb els tiquets: si triem un tiquet a l'atzar, \( P(\text{targeta}) = 0{,}61 \), per tant \( P(\text{no targeta}) = 1 - 0{,}61 = 0{,}39 \).

Un matís important que reprendrem al Mòdul 5: quan la freqüència ve d'una mostra (640 respostes) i no de tota la població (380.000 socis), el 0,712 és una estimació \( \hat{p} \) de la probabilitat vertadera \( \pi \), no la probabilitat exacta. La distinció paràmetre/estadístic del Mòdul 1 reapareix aquí amb una altra disfressa.

• Confondre «resultats possibles» amb «resultats equiprobables». Que hi hagi tres mètodes de pagament no fa que cadascun tingui probabilitat 1/3. La regla de Laplace només val quan l'equiprobabilitat està garantida (sortejos, atzar físic simètric).
• Probabilitats que no sumen 1. Si assignes probabilitats a un repartiment exhaustiu i incompatible (canals, categories, mètodes de pagament) i no sumen 1, hi ha un error segur en algun lloc. Fes-ho servir com a comprovació rutinària.
• Oblidar el complementari. Calcular \( P(\text{nota} \geq 6) \) sumant set probabilitats és feixuc i propens a errors; \( 1 - P(\text{nota} \leq 5) \) dona el mateix en un sol pas.
• Interpretar la probabilitat com a certesa a curt termini. \( P(\text{targeta}) = 0{,}61 \) no vol dir que dels propers 100 tiquets exactament 61 es pagaran amb targeta; vol dir que a la llarga la proporció rondarà el 61 %. En ratxes curtes, la variabilitat mana (ho quantificarem al Mòdul 4).
• Freqüència relativa de mostra petita presa com a probabilitat exacta. Els 64 socis del canal app són pocs: el seu 7,9 de mitjana (i qualsevol proporció calculada sobre ells) arrossega molta més incertesa que les xifres del canal botiga. Anota sempre la n al costat de la probabilitat estimada.

Exercici 1. Es tria a l'atzar un tiquet de NovaMarket i se n'observa el mètode de pagament, amb \( \Omega = {\text{targeta}, \text{efectiu}, \text{altres}} \), \( P(\text{targeta}) = 0{,}61 \) i \( P(\text{efectiu}) = 0{,}33 \). (a) Calcula \( P(\text{altres}) \). (b) Són incompatibles «targeta» i «efectiu»? (c) Calcula \( P(\text{targeta} \cup \text{efectiu}) \) i \( P(\text{no targeta}) \).

Exercici 2. Triem a l'atzar una resposta de l'enquesta (640 en total). Classifica cada esdeveniment com a elemental, compost, segur o impossible, i dona'n la probabilitat quan puguis amb les dades de la lliçó: (a) «la nota és entre 0 i 10»; (b) «la nota és ≥ 8»; (c) «la resposta va arribar per l'app»; (d) «la nota és −2».

Exercici 3. La Marta afirma: «La probabilitat que la campanya de tardor superi el seu objectiu és 0,6; la que es quedi a l'objectiu, 0,3; i la que quedi per sota, 0,2». (a) Quin enfocament de probabilitat està fent servir? (b) Hi ha cap problema amb la seva assignació? Justifica-ho amb els axiomes.

Solució 1. (a) Els tres mètodes formen un repartiment exhaustiu i incompatible, així que les seves probabilitats sumen 1: \( P(\text{altres}) = 1 - 0{,}61 - 0{,}33 = 0{,}06 \). (b) Sí: un tiquet es registra amb un únic mètode de pagament, per tant \( \text{targeta} \cap \text{efectiu} = \varnothing \). (c) Per additivitat d'incompatibles, \( P(\text{targeta} \cup \text{efectiu}) = 0{,}61 + 0{,}33 = 0{,}94 \); i \( P(\text{no targeta}) = 1 - 0{,}61 = 0{,}39 \). Error freqüent: respondre \( P(\text{altres}) = 0 \) «perquè no el donen» — si la dada no apareix, es dedueix, no s'ignora.

Solució 2. (a) Esdeveniment segur: \( P = 1 \). (b) Compost (agrupa les notes 8, 9 i 10): \( P = 0{,}712 \). (c) Compost respecte de l'experiment complet (hi ha moltes respostes d'app), amb \( P = 64/640 = 0{,}10 \); seria elemental només si l'experiment observés únicament el canal amb \( \Omega = {\text{botiga}, \text{en línia}, \text{app}} \) — la classificació depèn de com es defineixi l'espai mostral, i totes dues respostes ben raonades són vàlides. (d) Impossible: \( P = 0 \). Error freqüent: anomenar «elemental» qualsevol esdeveniment descrit amb una sola frase; el que compta és quants resultats de \( \Omega \) conté.

Solució 3. (a) El subjectiu: la campanya de tardor d'enguany passa una sola vegada, no hi ha freqüències a consultar. (b) Sí que hi ha problema: els tres escenaris són incompatibles i exhaustius, però \( 0{,}6 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}1 > 1 \), cosa que viola els axiomes (la probabilitat de l'esdeveniment segur seria 1,1). La Marta ha de revisar els seus números — per exemple, 0,5/0,3/0,2. Consell: la probabilitat subjectiva és legítima, però està obligada a ser coherent; els axiomes són el control de qualitat de qualsevol assignació, vingui d'on vingui.

Ja tenim el vocabulari bàsic de la incertesa: experiments aleatoris el conjunt de resultats dels quals és l'espai mostral \( \Omega \); esdeveniments que són subconjunts de \( \Omega \) i es combinen amb unió, intersecció i complementari; i tres maneres d'assignar probabilitats — Laplace quan hi ha equiprobabilitat, freqüències relatives quan hi ha dades abundants (així hem justificat el 0,61 de la targeta o el 0,712 de satisfets), i el judici expert quan no hi ha ni una cosa ni l'altra — totes sotmeses als axiomes de Kolmogórov, que garanteixen la coherència.

Però les preguntes interessants del negoci gairebé mai no són sobre un esdeveniment aïllat: són sobre combinacions. Quina probabilitat hi ha que una resposta vingui de l'app i sigui d'un client insatisfet? Si sabem que una comanda va arribar tard, canvia la probabilitat que fos d'un transportista concret? Per respondre-les necessitem les Regles de Probabilitat: la regla de la suma, la probabilitat condicionada, la regla del producte i el teorema de Bayes.