La probabilitat és una branca de les matemàtiques que estudia la incertesa i els fenòmens aleatoris. En aquest tema, aprendrem els conceptes fonamentals de la probabilitat, que són essencials per a l'anàlisi estadística.
- Definicions Bàsiques
1.1. Experiment Aleatori
Un experiment aleatori és qualsevol procés o acció que produeix un resultat incert. Per exemple, llançar una moneda o tirar un dau.
1.2. Espai Mostral (S)
L'espai mostral és el conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori. Per exemple, per a un llançament de moneda, l'espai mostral és: \[ S = {Cara, Creu} \]
1.3. Esdeveniment (E)
Un esdeveniment és qualsevol subconjunt de l'espai mostral. Per exemple, obtenir una cara en un llançament de moneda és un esdeveniment: \[ E = {Cara} \]
- Probabilitat d'un Esdeveniment
La probabilitat d'un esdeveniment és una mesura de la possibilitat que aquest esdeveniment ocorri. Es denota per \( P(E) \) i compleix les següents propietats:
- \( 0 \leq P(E) \leq 1 \)
- \( P(S) = 1 \)
- Si \( E_1 \) i \( E_2 \) són esdeveniments mutament excloents, llavors \( P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) \)
2.1. Probabilitat Clàssica
Si tots els resultats de l'espai mostral són igualment probables, la probabilitat d'un esdeveniment \( E \) es calcula com: \[ P(E) = \frac{|E|}{|S|} \] on \( |E| \) és el nombre de resultats favorables a \( E \) i \( |S| \) és el nombre total de resultats possibles.
Exemple: En un llançament de dau, la probabilitat d'obtenir un número parell (2, 4, 6) és: \[ P(\text{Número parell}) = \frac{3}{6} = 0.5 \]
2.2. Probabilitat Empírica
La probabilitat empírica es basa en l'observació i l'experiència. Es calcula com: \[ P(E) = \frac{\text{Nombre de vegades que ocorre } E}{\text{Nombre total d'experiments}} \]
Exemple: Si llancem una moneda 100 vegades i obtenim 55 cares, la probabilitat empírica d'obtenir una cara és: \[ P(\text{Cara}) = \frac{55}{100} = 0.55 \]
- Regles de Probabilitat
3.1. Regla de la Suma
Per a dos esdeveniments mutament excloents \( E_1 \) i \( E_2 \): \[ P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) \]
Exemple: En un llançament de dau, la probabilitat d'obtenir un 2 o un 4 és: \[ P(2 \cup 4) = P(2) + P(4) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
3.2. Regla del Producte
Per a dos esdeveniments independents \( E_1 \) i \( E_2 \): \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2) \]
Exemple: La probabilitat d'obtenir una cara en dos llançaments consecutius de moneda és: \[ P(\text{Cara en el primer llançament} \cap \text{Cara en el segon llançament}) = P(\text{Cara}) \cdot P(\text{Cara}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
- Exercicis Pràctics
Exercici 1
En un llançament de dau, calcula la probabilitat d'obtenir un número menor que 4.
Solució: L'espai mostral és \( S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \). L'esdeveniment \( E \) (número menor que 4) és \( E = {1, 2, 3} \). \[ P(E) = \frac{|E|}{|S|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Exercici 2
Si llancem una moneda tres vegades, quina és la probabilitat d'obtenir exactament dues cares?
Solució: L'espai mostral és \( S = {CCC, CCA, CAC, ACC, ACA, CAA, AAC, AAA} \). L'esdeveniment \( E \) (exactament dues cares) és \( E = {CCA, CAC, ACC} \). \[ P(E) = \frac{|E|}{|S|} = \frac{3}{8} \]
Resum
En aquest tema, hem après els conceptes bàsics de la probabilitat, incloent els experiments aleatoris, l'espai mostral, els esdeveniments i les diferents maneres de calcular la probabilitat. També hem vist les regles de la suma i del producte per a esdeveniments mutament excloents i independents, respectivament. Finalment, hem practicat aquests conceptes amb alguns exercicis pràctics. En el proper tema, explorarem les regles de probabilitat amb més detall.