La distribució normal, també coneguda com a distribució de Gauss, és una de les distribucions de probabilitat més importants en estadística. Molts fenòmens naturals, socials i econòmics segueixen una distribució normal. Aquesta distribució és simètrica i té una forma de campana.

1. Simetria: La distribució normal és simètrica respecte a la seva mitjana.
2. Mitjana, Mediana i Moda: En una distribució normal, la mitjana, la mediana i la moda són iguals.
3. Forma de Campana: La distribució té una forma de campana, amb la major part de les dades concentrades al voltant de la mitjana.
4. Asimptòtica: Les cues de la distribució s'apropen a l'eix X però mai arriben a tocar-lo.
5. Paràmetres: La distribució normal està definida per dos paràmetres: la mitjana (μ) i la desviació estàndard (σ).

La funció de densitat de probabilitat d'una distribució normal es defineix com:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

on:

• \( \mu \) és la mitjana de la distribució.
• \( \sigma \) és la desviació estàndard.
• \( e \) és la base del logaritme natural (aproximadament 2.71828).

1. Regla Empírica (68-95-99.7):

   • Aproximadament el 68% de les dades es troben dins d'una desviació estàndard de la mitjana.
   • Aproximadament el 95% de les dades es troben dins de dues desviacions estàndard de la mitjana.
   • Aproximadament el 99.7% de les dades es troben dins de tres desviacions estàndard de la mitjana.

2. Estàndardització:

   • Qualsevol distribució normal es pot convertir en una distribució normal estàndard (amb mitjana 0 i desviació estàndard 1) utilitzant la transformació Z: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Suposem que les puntuacions d'un examen segueixen una distribució normal amb una mitjana de 70 i una desviació estàndard de 10. Volem saber la probabilitat que un estudiant escollit a l'atzar tingui una puntuació entre 60 i 80.

1. Estàndardització:

   • Per a X = 60: \[ Z = \frac{60 - 70}{10} = -1 \]
   • Per a X = 80: \[ Z = \frac{80 - 70}{10} = 1 \]

2. Ús de la Taula Z:

   • La probabilitat corresponent a Z = -1 és 0.1587.
   • La probabilitat corresponent a Z = 1 és 0.8413.

3. Càlcul de la Probabilitat:

   • La probabilitat que un estudiant tingui una puntuació entre 60 i 80 és: \[ P(60 < X < 80) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 \]

1. Exercici 1:

   • Suposem que les alçades dels homes adults segueixen una distribució normal amb una mitjana de 175 cm i una desviació estàndard de 7 cm. Quina és la probabilitat que un home adult tingui una alçada entre 168 cm i 182 cm?

2. Exercici 2:

   • En una fàbrica, el pes dels productes segueix una distribució normal amb una mitjana de 500 grams i una desviació estàndard de 20 grams. Quina és la probabilitat que un producte pesi més de 540 grams?

1. Solució a l'Exercici 1:

   • Per a X = 168: \[ Z = \frac{168 - 175}{7} = -1 \]
   • Per a X = 182: \[ Z = \frac{182 - 175}{7} = 1 \]
   • La probabilitat corresponent a Z = -1 és 0.1587.
   • La probabilitat corresponent a Z = 1 és 0.8413.
   • La probabilitat que un home adult tingui una alçada entre 168 cm i 182 cm és: \[ P(168 < X < 182) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 \]

2. Solució a l'Exercici 2:

   • Per a X = 540: \[ Z = \frac{540 - 500}{20} = 2 \]
   • La probabilitat corresponent a Z = 2 és 0.9772.
   • La probabilitat que un producte pesi més de 540 grams és: \[ P(X > 540) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 \]

En aquesta secció, hem après sobre la distribució normal, les seves característiques, la funció de densitat de probabilitat, la regla empírica i com estàndarditzar dades. També hem vist exemples pràctics i exercicis per reforçar els conceptes apresos. La comprensió de la distribució normal és fonamental per a l'anàlisi estadística i la inferència.