A la lliçó anterior va treure el cap una campana: en créixer \( n \), la binomial dels cupons se suavitzava fins a adoptar una silueta simètrica i acampanada. Aquesta silueta és la distribució normal (o gaussiana), la plantilla més important de tota l'estadística — i una vella coneguda: és la forma «campaniforme» que ja vam descriure en estudiar histogrames al Mòdul 2, i la raó de ser de la regla empírica 68-95-99,7 que aleshores vam acceptar sense justificar. En aquesta lliçó la convertim en eina de càlcul: aprendràs què signifiquen els seus dos paràmetres \( \mu \) i \( \sigma \), a estandarditzar qualsevol valor (retrobant-te amb les puntuacions z de 02-03), a llegir la taula Z per obtenir probabilitats i percentils, i a aplicar-ho tot a decisions reals de NovaMarket: quina probabilitat hi ha que una botiga superi els 50.000 € de venda en un dia? Quant efectiu cal preparar per cobrir el 95 % dels dies? Tancarem amb una cosa igual de valuosa: com sospitar que una variable no és normal abans de fer servir la plantilla.

1. Per què la normal apareix pertot arreu
2. La funció de densitat i els paràmetres \( \mu \) i \( \sigma \)
3. Propietats i la regla empírica 68-95-99,7
4. Estandardització: la normal estàndard i la puntuació z
5. Com llegir la taula Z
6. Càlcul de probabilitats: la venda diària de les botigues
7. Percentils: planificar la caixa per al 95 % dels dies
8. Comprovació informal de normalitat (i un contraexemple: els temps de lliurament)

La venda diària d'una botiga NovaMarket és la suma de milers de tiquets individuals. L'estatura d'una persona és la suma de milers de petits efectes genètics i ambientals. L'error d'una bàscula és la suma de moltes pertorbacions diminutes. El patró es repeteix: quan una magnitud resulta de sumar moltes contribucions petites i independents, la seva distribució tendeix a ser normal, gairebé amb independència de com sigui cada contribució individual. Aquest fet sorprenent té nom — Teorema Central del Límit — i li dediquem sencera la lliçó 04-04; de moment en tenim prou amb la conseqüència pràctica: moltíssimes variables de negoci «de tipus suma o mitjana» són aproximadament normals, i per això aquesta plantilla és la primera que un analista prova.

A NovaMarket, la candidata perfecta és la venda diària per botiga: al Mòdul 2 vam veure que el seu histograma era simètric i acampanat, amb mitjana 43.983 € i desviació típica 6.200 €. En aquesta lliçó la modelarem com

\[ V \sim N(43.983;\ 6.200) \]

que es llegeix «\( V \) segueix una distribució normal de mitjana 43.983 i desviació típica 6.200».

La normal és una distribució contínua, així que — com vam veure a 03-03 — es descriu amb una funció de densitat, i les probabilitats són àrees sota la corba. La seva densitat té una fórmula cèlebre:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} , e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Tranquil·litat: mai no calcularem directament amb aquesta fórmula (les àrees sota la corba no tenen fórmula tancada; per a això hi ha les taules). L'important és el que diuen els seus dos paràmetres:

Cada parella \( (\mu, \sigma) \) defineix una normal diferent: la venda diària de la cadena és \( N(43.983;\ 6.200) \), però la d'una botiga petita com Cuenca podria ser \( N(21.000;\ 2.900) \) — mateixa forma, centre i amplada diferents. La família normal és una plantilla amb dos dials, igual que la binomial ho era amb \( n \) i \( p \).

Tota normal, sigui quina sigui la seva \( \mu \) i la seva \( \sigma \), compleix:

• Simetria perfecta al voltant de \( \mu \): per tant mitjana = mediana = moda (recorda del Mòdul 2 que en distribucions simètriques totes tres coincideixen).
• Unimodal: un únic pic, a \( \mu \), amb cues que decauen suaument cap a banda i banda sense tocar mai l'eix.
• L'àrea total sota la corba és 1 (és una distribució de probabilitat).
• \( P(V = x) = 0 \) per a qualsevol valor exacte: com tota contínua, només tenen probabilitat els intervals. Conseqüència pràctica: \( P(V > 50.000) \) i \( P(V \geq 50.000) \) són iguals.

I la propietat estrella, que al Mòdul 2 vam presentar com a «regla empírica» i que ara podem enunciar com a propietat exacta de la normal:

Lectura de negoci immediata: un dia amb vendes de 60.000 € en una botiga mitjana és gairebé a \( 3\sigma \) — raríssim si tot és normal, així que mereix investigació (festiu?, promoció?, error de registre?). És la mateixa lògica dels valors atípics de 02-03, ara amb probabilitats exactes al darrere.

Hi ha infinites normals, però només necessitem una taula, gràcies a un truc: qualsevol normal es converteix en la normal estàndard \( Z \sim N(0;\ 1) \) (mitjana 0, desviació típica 1) mitjançant la transformació

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Aquesta fórmula és exactament la puntuació z del Mòdul 2: «a quantes desviacions típiques de la mitjana és aquest valor?». Aleshores la fèiem servir per comparar valors d'escales diferents; ara, a més, ens dona probabilitats: si \( V \) és normal, el valor estandarditzat \( z \) és una observació de la normal estàndard, i la seva probabilitat es busca a la taula.

Exemple immediat: un dia de 50.000 € en vendes equival a

\[ z = \frac{50.000 - 43.983}{6.200} = \frac{6.017}{6.200} \approx 0{,}97 \]

és a dir, 0,97 desviacions típiques per sobre de la mitjana. Tota pregunta sobre \( V \) es tradueix així en una pregunta sobre \( Z \).

La taula Z (o taula de la normal estàndard) recull la funció de distribució acumulada de \( Z \): per a cada valor \( z \), dona \( \Phi(z) = P(Z \leq z) \), l'àrea a l'esquerra de \( z \). S'organitza així: les files donen les unitats i dècimes de \( z \), i les columnes, la centèsima. Un extracte:

Per buscar \( \Phi(0{,}97) \): fila «0,9», columna «,07» → 0,8340. És a dir, \( P(Z \leq 0{,}97) = 0{,}8340 \).

Amb l'àrea a l'esquerra i dues regles es resol tot:

• Àrea a la dreta (complementari): \( P(Z > z) = 1 - \Phi(z) \).
• Valors negatius (simetria): \( \Phi(-z) = 1 - \Phi(z) \). Per exemple, \( \Phi(-0{,}97) = 1 - 0{,}8340 = 0{,}1660 \). (Moltes taules impreses només porten la meitat positiva per aquesta raó.)
• Entre dos valors: \( P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a) \) — l'àrea fins a \( b \) menys l'àrea fins a \( a \).

Cas 1 — «Quina probabilitat hi ha que una botiga superi avui els 50.000 €?» La Marta ho necessita per dimensionar els reforços de personal. Mètode en tres passos, que serà sempre el mateix:

1. Estandarditzar: \( z = \dfrac{50.000 - 43.983}{6.200} \approx 0{,}97 \).
2. Taula: \( \Phi(0{,}97) = 0{,}8340 \).
3. Traduir la pregunta: demanem l'àrea a la dreta: \( P(V > 50.000) = 1 - 0{,}8340 = 0{,}1660 \).

Aproximadament el 16,6 % dels dies una botiga mitjana supera els 50.000 €. Sobre 42 botigues, es podria esperar que unes \( 42 \times 0{,}166 \approx 7 \) botigues superin aquesta xifra un dia qualsevol.

Cas 2 — «I que caigui per sota de 35.000 €?» (llindar que dispara una revisió de botiga):

1. \( z = \dfrac{35.000 - 43.983}{6.200} = \dfrac{-8.983}{6.200} \approx -1{,}45 \).
2. Per simetria: \( \Phi(-1{,}45) = 1 - \Phi(1{,}45) = 1 - 0{,}9265 = 0{,}0735 \).
3. La pregunta ja demanava àrea a l'esquerra: \( P(V < 35.000) \approx 0{,}0735 \), un 7,4 % dels dies.

Compte amb la interpretació: que el llindar salti un 7,4 % dels dies amb el negoci funcionant amb normalitat significa que, en una cadena de 42 botigues, cada dia hi haurà unes 3 botigues per sota de 35.000 € sense que passi res d'estrany. Si el protocol de revisió no ho té en compte, l'equip perseguirà fantasmes.

Cas 3 — «Probabilitat d'un dia "típic", entre 40.000 i 50.000 €?»

1. \( z_1 = \dfrac{40.000 - 43.983}{6.200} \approx -0{,}64 \); \( z_2 \approx 0{,}97 \).
2. \( \Phi(-0{,}64) = 1 - 0{,}7389 = 0{,}2611 \); \( \Phi(0{,}97) = 0{,}8340 \).
3. \( P(40.000 < V < 50.000) = 0{,}8340 - 0{,}2611 = 0{,}5729 \approx 57{,}3,% \).

De vegades la pregunta va a l'inrevés: no «quina probabilitat té aquest valor?» sinó «quin valor deixa a sota una probabilitat donada?». És el problema dels percentils del Mòdul 2, ara resolt amb el model.

Cas: efectiu i personal per al percentil 95. Operacions vol planificar tresoreria i torns per cobrir «tots els dies llevat del 5 % més fort». Busquem el valor \( v_{95} \) tal que \( P(V \leq v_{95}) = 0{,}95 \).

1. Taula a l'inrevés: busquem dins la taula l'àrea 0,9500 i llegim quin \( z \) li correspon. És just entre \( \Phi(1{,}64) = 0{,}9495 \) i \( \Phi(1{,}65) = 0{,}9505 \); es pren el valor intermedi \( z_{95} = 1{,}645 \) (un clàssic que convé memoritzar).
2. Des-estandarditzar (aïllar \( x \) a la fórmula de \( z \)):

\[ x = \mu + z \cdot \sigma = 43.983 + 1{,}645 \times 6.200 = 43.983 + 10.199 = 54.182 \text{ €} \]

Preparant l'operativa per a 54.182 € de venda diària, una botiga mitjana queda coberta el 95 % dels dies. El mateix mètode cap avall: el percentil 1 (per a alertes de caiguda greu) fa servir \( z = -2{,}33 \) (perquè \( \Phi(2{,}33) = 0{,}9901 \)) i dona \( 43.983 - 2{,}33 \times 6.200 \approx 29.537 \) €.

Altres valors de \( z \) que faràs servir una vegada i una altra (guarda'ls):

L'1,96 en particular serà protagonista absolut del Mòdul 5.

La normal és una plantilla, no una obligació: abans de fer-la servir cal comprovar que encaixa. La comprovació informal, amb eines que ja domines del Mòdul 2:

1. Histograma: és aproximadament simètric, unimodal i acampanat? Cues molt llargues cap a un costat, dos pics o una vora tallant descarten la normal.
2. Mitjana vs mediana: en una normal coincideixen. Si se separen clarament (recorda: mitjana arrossegada per la cua), hi ha asimetria.
3. Regla empírica: cauen de debò ~68 % de les dades a \( \bar{x} \pm s \) i ~95 % a \( \bar{x} \pm 2s \)? Si no, la plantilla no descriu les teves dades.
4. Test del valor impossible: si \( \mu - 2\sigma \) o \( \mu - 3\sigma \) cauen en valors absurds (negatius per a imports o temps), la normal no pot ser una bona descripció.

Dos contraexemples de la mateixa NovaMarket:

• L'import del tiquet (mitjana 32,40 €, \( s = 21{,}50 \) €). El test del valor impossible falla estrepitosament: \( 32{,}40 - 2 \times 21{,}50 = -10{,}60 \) €. Una normal amb aquests paràmetres assignaria probabilitat apreciable a tiquets negatius (estandarditzant el 0: \( z = -1{,}51 \), un 6,5 % de tiquets «impossibles»). L'histograma real, com vam veure al Mòdul 2, és asimètric a la dreta: molts tiquets petits i una cua de carros grans. No fer servir la normal aquí.
• Els temps de lliurament e-commerce. Si fossin normals, mitjana i mediana coincidirien en 25,5 h, i de \( F(48) = 0{,}899 \) es deduiria \( z = 1{,}27 \) i per tant \( \sigma = (48 - 25{,}5)/1{,}27 \approx 17{,}7 \) h. Però aleshores \( P(T < 0) \) correspondria a \( z = -1{,}44 \): un 7,5 % de lliuraments en temps negatiu! Els temps de lliurament són asimètrics a la dreta (la majoria ràpids, una cua de retards); la seva plantilla natural la veurem a la pròxima lliçó.

Existeix un gràfic especialitzat per a aquesta comprovació, el QQ-plot (compara els quantils de les teves dades amb els d'una normal: si el resultat és una recta, hi ha normalitat). En tenim prou de saber que existeix; amb histograma, mitjana-mediana i regla empírica s'arriba molt lluny. I un avançament que resoldrà una paradoxa pendent: encara que el tiquet individual no sigui normal, la mitjana de molts tiquets sí que ho serà — aquesta és la màgia del Teorema Central del Límit.

• Oblidar què dona la taula. La taula Z estàndard dona l'àrea a l'esquerra. Per a «més gran que», resta d'1; per a «entre», resta dues lectures. Dibuixa sempre una campana i ombreja l'àrea demanada abans de tocar la taula: és l'antídot número u contra els errors de signe.
• Equivocar el sentit amb z negatius. \( \Phi(-1{,}45) \) no és \( -0{,}9265 \) ni \( 0{,}9265 \): és \( 1 - 0{,}9265 = 0{,}0735 \). Les probabilitats mai no són negatives ni més grans que 1.
• Estandarditzar a l'inrevés (\( \frac{\mu - x}{\sigma} \)) canvia el signe de z i converteix un 16 % en un 84 %. La resta és sempre «valor menys mitjana».
• Aplicar la normal sense comprovar la forma. Amb variables asimètriques (imports, temps, rendes) la normal dona probabilitats molt equivocades a les cues — just on es prenen les decisions. Passa sempre el «test del valor impossible».
• Confondre probabilitat d'un dia amb recompte de botigues. «El 7,4 % dels dies una botiga baixa de 35.000 €» i «avui unes 3 de les 42 botigues estaran per sota» són dues lectures del mateix nombre; en informes, dona-les totes dues perquè direcció calibri.
• Consell: memoritza el trio 68-95-99,7 i els z de la taula de percentils. Permeten estimar de cap en una reunió, sense taula, si una xifra és rutinària o extraordinària.

Exercici 1. Amb \( V \sim N(43.983;\ 6.200) \), calcula la probabilitat que la venda de demà a Zaragoza-Centro estigui entre 38.000 i 45.000 €. (Arrodoneix els z a dos decimals; \( \Phi(0{,}16) = 0{,}5636 \).)

Exercici 2. El comitè vol una «alerta vermella» que només salti, per pur atzar, l'1 % dels dies amb vendes més baixes. Per sota de quina xifra de venda diària s'ha de fixar el llindar? I si es volgués una «alerta groga» per al 10 % més baix? (\( z_{90} = 1{,}282 \).)

Exercici 3. Un company proposa calcular «la probabilitat que un tiquet superi els 60 €» com \( P(Z > \frac{60 - 32{,}40}{21{,}50}) = P(Z > 1{,}28) \approx 0{,}10 \). Explica per què el resultat no és fiable i quines comprovacions l'haurien delatat. Amb quina eina del Mòdul 2 estimaries aquesta probabilitat honestament?

Solució 1. \( z_1 = \frac{38.000 - 43.983}{6.200} \approx -0{,}97 \) i \( z_2 = \frac{45.000 - 43.983}{6.200} \approx 0{,}16 \). \( \Phi(-0{,}97) = 1 - 0{,}8340 = 0{,}1660 \); \( \Phi(0{,}16) = 0{,}5636 \). \( P = 0{,}5636 - 0{,}1660 = 0{,}3976 \approx 39{,}8,% \). Error freqüent: restar els z (\( 0{,}16 - (-0{,}97) \)) en lloc de les àrees — els z no són probabilitats.

Solució 2. Percentil 1: \( z = -2{,}33 \), per tant \( x = 43.983 - 2{,}33 \times 6.200 = 43.983 - 14.446 = 29.537 \) €. Alerta groga (percentil 10): \( z = -1{,}282 \), \( x = 43.983 - 1{,}282 \times 6.200 \approx 43.983 - 7.948 = 36.035 \) €. Error freqüent: fer servir \( z \) positiu i obtenir llindars per sobre de la mitjana; per a percentils baixos, el z és negatiu i es resta.

Solució 3. L'import del tiquet no és normal: el seu histograma és asimètric a la dreta (Mòdul 2) i falla el test del valor impossible (\( \mu - 2\sigma = -10{,}60 \) €, tiquets negatius). La normal amb \( \mu = 32{,}40 \) i \( \sigma = 21{,}50 \) infravalora la cua dreta real, així que aquest 10 % és poc fiable just on importa. Honestament: fer servir la freqüència relativa empírica — comptar a la taula de freqüències/histograma del Mòdul 2 quina proporció de tiquets reals supera els 60 € (enfocament freqüentista de 03-01). Lliçó de fons: la plantilla no substitueix mirar les dades.

Ja domines la reina de les distribucions: la normal queda definida pel seu centre \( \mu \) i la seva amplada \( \sigma \); la regla 68-95-99,7 en dona l'esquelet; i el mètode estandarditzar → taula → traduir converteix qualsevol pregunta de probabilitat o percentil en dues operacions i una consulta. Igual d'important: saps detectar quan la campana no encaixa — imports de tiquet i temps de lliurament ho han demostrat. Precisament per a aquests casos rebels (recomptes de successos rars, temps d'espera, intents fins a un èxit) l'estadística té més plantilles al calaix, cadascuna amb la seva situació típica d'ús. A la pròxima lliçó, Altres Distribucions Importants, completem la caixa d'eines amb la Poisson, la geomètrica, la hipergeomètrica, la uniforme i l'exponencial.