Al mòdul anterior vam capgirar l'ullera de llarga vista: vam deixar de deduir com es comporten les mostres a partir d'una població coneguda i ens vam preparar per fer just el contrari — inferir la població a partir d'una mostra. Aquesta lliçó fa el primer pas d'aquest camí: l'estimació de paràmetres. Aprendràs què és un estimador puntual, quines propietats fan que un estimador sigui «bo» (absència de biaix, eficiència, consistència), per què l'error típic mesura la qualitat de l'estimació i què canvia quan no coneixem la desviació típica poblacional — moment en què entra en escena una nova protagonista: la distribució t de Student. El cas conductor serà una pregunta que la Marta fa setmanes que vol respondre: quant gasta al mes, de mitjana, un soci del Club Nova, i quina proporció de socis està realment activa?

1. De l'estadístic a l'estimador: l'estimació puntual
2. El cas Club Nova: estimant la despesa mitjana i la proporció de socis actius
3. Propietats desitjables d'un estimador: absència de biaix, eficiència i consistència
4. La distribució mostral de l'estimador i l'error típic
5. Quan σ és desconeguda: la distribució t de Student
6. Com llegir la taula t
7. Altres mètodes d'estimació (menció)

Recordem el vocabulari del Mòdul 1:

• Un paràmetre és una característica numèrica de la població: la mitjana poblacional \( \mu \), la proporció poblacional \( p \), la variància poblacional \( \sigma^2 \). Gairebé mai no el coneixem.
• Un estadístic és una característica numèrica de la mostra: la mitjana mostral \( \bar{x} \), la proporció mostral \( \hat{p} \), la variància mostral \( s^2 \). Sempre el podem calcular.

Quan fem servir un estadístic per aproximar un paràmetre, l'anomenem estimador, i el valor concret que pren en la nostra mostra, estimació puntual. És «puntual» perquè és un únic nombre: el nostre millor pronòstic del paràmetre desconegut.

Fixa't en un matís important de notació: l'estimador és una regla de càlcul (una variable aleatòria, perquè el seu valor depèn de la mostra que surti), mentre que l'estimació és el nombre que obtenim amb una mostra concreta. Aquesta distinció, que sembla pedant, és la clau de tota la inferència.

El Club Nova és el programa de fidelització de NovaMarket, amb uns 380.000 socis a tot Espanya. La Marta planteja dues preguntes a l'equip:

1. Quina és la despesa mitjana mensual d'un soci? (paràmetre: \( \mu \), en euros)
2. Quina proporció de socis està activa? — definint «actiu» com haver comprat almenys una vegada en els últims 90 dies (paràmetre: \( p \))

Creuar els 380.000 historials complets amb els sistemes de facturació és un projecte de mesos; una mostra ben feta dona la resposta en dies. L'equip extreu dues mostres aleatòries simples de la base de socis:

Mostra A (despesa): \( n = 60 \) socis, revisant els seus tiquets de l'últim mes:

\[ \bar{x} = 126{,}40 ; \text{€} \qquad s = 38{,}50 ; \text{€} \]

Mostra B (activitat): \( n = 150 \) socis, comprovant si havien comprat en els últims 90 dies: 96 ho havien fet.

\[ \hat{p} = \frac{96}{150} = 0{,}64 \]

Les estimacions puntuals són, per tant: «la despesa mitjana mensual d'un soci del Club Nova és d'uns 126,40 €» i «el 64 % dels socis està actiu».

Podem afirmar que \( \mu = 126{,}40 \) exactament? No. Si repetíssim el mostreig demà amb 60 socis més, sortiria una altra mitjana — potser 122,80 €, potser 131,10 €. L'estimació puntual és el millor pronòstic, però necessita anar acompanyada d'una mesura de la seva precisió. D'això s'ocupa la resta de la lliçó (i, de manera definitiva, la següent).

Per què fem servir \( \bar{x} \) per estimar \( \mu \) i no, per exemple, la mediana mostral, o la mitjana de les 10 primeres dades? Perquè els bons estimadors compleixen tres propietats. Les entendrem amb intuïció, sense demostracions.

Un estimador és no esbiaixat si, fent la mitjana sobre totes les mostres possibles, el seu valor esperat coincideix amb el paràmetre:

\[ E(\hat{\theta}) = \theta \]

Pensa en un llançador de dards: pot fallar a cada tirada, però si els seus dards es reparteixen centrats a la diana, no té biaix. Si sistemàticament es desvia cap a l'esquerra, sí que en té.

• \( \bar{x} \) és no esbiaixat per a \( \mu \): unes mostres donen de més i unes altres de menys, però no hi ha desviació sistemàtica.
• \( \hat{p} \) és no esbiaixat per a \( p \), per la mateixa raó.
• I aquí es resol per fi el misteri del n − 1 que arrosseguem des del Mòdul 2: si dividíssim per \( n \) en calcular la variància mostral, obtindríem un estimador esbiaixat a la baixa de \( \sigma^2 \). La raó intuïtiva: mesurem les desviacions respecte de \( \bar{x} \), que és el centre de la nostra mostra, i les dades sempre són més a prop del seu propi centre que del centre veritable \( \mu \). Dividir per \( n - 1 \) en lloc de \( n \) «infla» lleugerament el resultat i corregeix exactament aquest dèficit. Per això \( s^2 \) amb \( n - 1 \) és l'estimador estàndard de \( \sigma^2 \).

Entre dos estimadors no esbiaixats, és més eficient el que té menys variància — és a dir, el que es dispersa menys al voltant del paràmetre. Tornem al llançador: dos tiradors centrats a la diana, però un agrupa els dards en un cercle petit i l'altre els escampa. Preferim el primer.

Exemple clàssic: en una població normal, tant la mitjana mostral com la mediana mostral són estimadors no esbiaixats de \( \mu \), però la mediana té aproximadament un 25 % més d'error típic. Amb els mateixos 60 socis del Club Nova, estimar la despesa amb la mediana seria com llençar part de la informació a la paperera. Per això l'estimador «oficial» de \( \mu \) és \( \bar{x} \) (tot i que, com vam veure al Mòdul 2, la mediana continua sent valuosa com a descriptiu quan hi ha asimetria o valors atípics).

Un estimador és consistent si, en créixer \( n \), s'aproxima cada cop més al paràmetre (el seu error tendeix a zero). És la propietat de mínims que li exigiríem: «si em dones tota la població, encerta exactament».

\( \bar{x} \), \( \hat{p} \) i \( s^2 \) són consistents. La conseqüència pràctica ja la coneixes del Teorema Central del Límit: l'error típic porta \( \sqrt{n} \) al denominador, així que més mostra = més precisió (encara que amb rendiments decreixents: per duplicar la precisió cal quadruplicar la mostra).

Aquí reprenem el gran resultat del Mòdul 4. La mitjana mostral \( \bar{X} \) és una variable aleatòria i, pel Teorema Central del Límit, amb \( n \) prou gran:

\[ \bar{X} \sim N!\left(\mu, ; \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]

Aquesta desviació típica de la distribució mostral, \( \sigma / \sqrt{n} \), és l'error típic: mesura quant «balla» l'estimador de mostra en mostra. És la unitat natural per jutjar la precisió d'una estimació puntual.

Apliquem-ho a la despesa del Club Nova. No coneixem \( \sigma \), així que fem servir la seva estimació \( s = 38{,}50 \):

\[ \widehat{ET}(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{38{,}50}{\sqrt{60}} = \frac{38{,}50}{7{,}746} \approx 4{,}97 ; \text{€} \]

Interpretació: si repetíssim el mostreig moltes vegades, les mitjanes mostrals es desviarien típicament uns 5 € de la despesa mitjana veritable. La nostra estimació de 126,40 € té, per tant, una imprecisió de l'ordre de ±5 € (per cada «pas» d'error típic).

Per a la proporció, l'error típic és \( \sqrt{p(1-p)/n} \), que estimem amb \( \hat{p} \):

\[ \widehat{ET}(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0{,}64 \times 0{,}36}{150}} = \sqrt{0{,}001536} \approx 0{,}0392 \]

És a dir, el 64 % estimat balla uns ±3,9 punts percentuals per cada error típic. Compara-ho amb els dos errors típics que ja vam calcular al mòdul anterior i que reutilitzarem constantment: el de la satisfacció mitjana (8,1 amb ET ≈ 0,063) i el de la proporció de pagament amb targeta (0,61 amb ET = 0,0345 per a \( n = 200 \)).

Al Mòdul 4 vam treballar amb un luxe que a la pràctica gairebé mai no tenim: conèixer \( \sigma \). En tipificar la mitjana mostral fèiem

\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

Però en el cas Club Nova hem substituït \( \sigma \) per \( s \), que és al seu torn una estimació amb el seu propi error. En fer aquesta substitució, el quocient

\[ T = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}} \]

ja no segueix exactament una normal: té una mica més d'incertesa, perquè el denominador també fluctua de mostra en mostra. La seva distribució exacta (quan la població és aproximadament normal) la va deduir W. S. Gosset — que publicava sota el pseudònim «Student» mentre treballava a la cervesera Guinness — i s'anomena distribució t de Student.

Característiques de la t:

• Té forma de campana, simètrica i centrada en 0, com la normal estàndard, però amb cues més pesants: els valors allunyats de 0 són més probables. És la manera matemàtica de dir «com que no conec σ, em poso la bena abans de la ferida».
• Depèn d'un paràmetre anomenat graus de llibertat (gl). Per a la mitjana d'una mostra, \( \text{gl} = n - 1 \) (els mateixos \( n-1 \) del denominador de \( s^2 \): de les \( n \) desviacions respecte de \( \bar{x} \), només \( n-1 \) són lliures, perquè sumen zero).
• A mesura que creixen els graus de llibertat, la t s'assembla cada cop més a la N(0,1). Amb gl ≥ 30 són molt similars; amb gl ≥ 100, gairebé indistingibles. Té lògica: amb molta mostra, \( s \) estima molt bé \( \sigma \) i la correcció gairebé no cal.

Regla pràctica: per a inferències sobre una mitjana amb \( \sigma \) desconeguda (és a dir, gairebé sempre), fes servir la t amb \( n - 1 \) graus de llibertat. Amb mostres grans, t i z donen resultats pràcticament idèntics, però fer servir la t no és mai incorrecte.

La taula t s'organitza de manera diferent de la taula Z, i convé dominar-la perquè la farem servir a les tres pròximes lliçons:

• La taula Z (Mòdul 4) dona, per a cada valor de z, la probabilitat acumulada \( P(Z \le z) \): hi entres pel valor i en surts amb la probabilitat.
• La taula t funciona a l'inrevés: hi entres per la probabilitat i en surts amb el valor. Com que hi ha una corba t diferent per a cada gl, la taula només recull els valors crítics de les probabilitats de cua més usades.

Estructura típica:

• Files: graus de llibertat (1, 2, 3, …, 30, 40, 60, 120, ∞).
• Columnes: àrea a la cua dreta (0,10; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005).
• Cel·la: el valor \( t \) que deixa exactament aquesta àrea a la seva dreta, denotat \( t_{\alpha,,\text{gl}} \).

Exemple de lectura pas a pas. Volem el valor t que deixa el 2,5 % a la cua dreta amb la mostra de despesa del Club Nova (\( n = 60 \), per tant gl = 59):

1. Busca la fila gl = 59 (si la teva taula salta de 40 a 60, fes servir gl = 60 o interpola; per prudència se sol prendre la fila inferior més propera, aquí donaria gairebé el mateix).
2. Busca la columna «cua dreta = 0,025».
3. La cel·la dona \( t_{0{,}025,,59} \approx 2{,}001 \).

Per simetria, el valor que deixa el 2,5 % a la cua esquerra és −2,001, i entre −2,001 i +2,001 hi queda el 95 % central. Compara: amb la normal aquest paper el feia 1,96. Amb gl = 11, en canvi, \( t_{0{,}025,,11} = 2{,}201 \) — la penalització per mostra petita és visible.

Dos avisos en fer servir la taula:

• Algunes taules retolen les columnes amb l'àrea de dues cues (0,05 en lloc de 0,025). Comprova sempre el dibuix de la capçalera.
• L'última fila (gl = ∞) reprodueix els valors z coneguts: 1,282; 1,645; 1,960; 2,326; 2,576. És una bona autocomprovació.

D'on surten els estimadors? Dues fàbriques clàssiques que només deixem anomenades: el mètode dels moments construeix estimadors igualant els moments mostrals (mitjana, variància…) als teòrics de la distribució, i el mètode de màxima versemblança tria com a estimació el valor del paràmetre que fa més probable haver observat exactament la mostra que tenim. Per als casos d'aquest curs (\( \mu \), \( p \), \( \sigma^2 \)), tots dos condueixen essencialment als estimadors que ja fem servir, així que no els desenvoluparem.

• Confondre estimació amb paràmetre. Dir «la despesa mitjana dels socis és de 126,40 €» sense més és incorrecte: 126,40 € és l'estimació; \( \mu \) continua sent desconegut. En informes per a direcció, acompanya sempre la xifra del seu error típic o (millor, després de la pròxima lliçó) d'un interval.
• Fer servir z quan toca t. Si \( \sigma \) és desconeguda i la mostra no és gran, tipificar amb la normal infravalora la incertesa. La regla segura: σ desconeguda → t amb \( n-1 \) gl.
• Equivocar-se amb les cues de la taula t. Verifica si la teva taula dona l'àrea d'una cua o de dues. Un 0,05 d'una cua equival a un 0,10 de dues cues; confondre'ls canvia el valor crític (1,671 davant de 2,001 amb gl = 59, per exemple).
• Creure que no esbiaixat = exacte. Un estimador no esbiaixat pot fallar molt en una mostra concreta; només garanteix que no falla sistemàticament en la mateixa direcció.
• Oblidar l'origen del n − 1. Si t'ho pregunten en una reunió, la resposta curta és: «dividir per n subestimaria la variància, perquè les dades sempre són més a prop de la seva pròpia mitjana que de la mitjana veritable; n − 1 ho corregeix».

Exercici 1. De la mostra B (150 socis, 96 actius): (a) dona l'estimació puntual de la proporció de socis inactius; (b) calcula'n l'error típic estimat; (c) raona si és el mateix que el de \( \hat{p} = 0{,}64 \) i per què.

Exercici 2. L'equip de la Marta es planteja ampliar la mostra de despesa de 60 a 240 socis. Suposant que \( s \) es mantingués en 38,50 €, quin seria el nou error típic de la mitjana? Quina propietat de l'estimador il·lustra aquest resultat?

Exercici 3. Amb una mostra pilot de \( n = 12 \) socis de la botiga de Cuenca es vol tipificar la mitjana fent servir \( s \). (a) Quina distribució cal fer servir i amb quants graus de llibertat? (b) Busca a la taula el valor que deixa un 2,5 % a la cua dreta. (c) Compara'l amb 1,96 i explica en una frase per què és més gran.

Solució 1. (a) \( \hat{q} = 1 - 0{,}64 = 0{,}36 \) (o directament 54/150). (b) \( \widehat{ET} = \sqrt{0{,}36 \times 0{,}64 / 150} = \sqrt{0{,}001536} \approx 0{,}0392 \). (c) És exactament el mateix, perquè \( p(1-p) = (1-p)p \): la incertesa sobre «actius» i sobre «inactius» és la mateixa informació vista des dels dos costats. Error freqüent: recalcular amb \( 0{,}36 \times 0{,}36 \) — la fórmula porta \( \hat{p}(1-\hat{p}) \), no \( \hat{p}^2 \).

Solució 2. \( \widehat{ET} = 38{,}50/\sqrt{240} = 38{,}50/15{,}49 \approx 2{,}49 \) €, la meitat de l'original (4,97 €). Quadruplicar la mostra divideix l'error típic per \( \sqrt{4} = 2 \). Il·lustra la consistència: més dades, estimació més precisa — però amb rendiments decreixents (×4 de cost per ×2 de precisió). Error freqüent: esperar que l'error es divideixi per 4; l'arrel quadrada ho impedeix.

Solució 3. (a) La t de Student amb gl \( = 12 - 1 = 11 \), perquè \( \sigma \) és desconeguda i la mostra és petita. (b) \( t_{0{,}025,,11} = 2{,}201 \). (c) És més gran que 1,96 perquè la t té cues més pesants: en estimar \( \sigma \) amb només 12 dades hi afegim incertesa, i el valor crític s'eixampla per compensar-la. Error freqüent: fer servir gl = 12; els graus de llibertat són \( n - 1 \).

Hem fet el primer pas de la inferència: fer servir estadístics mostrals com a estimadors puntuals dels paràmetres (\( \bar{x} \to \mu \), \( \hat{p} \to p \), \( s^2 \to \sigma^2 \)), exigir-los bones propietats — absència de biaix (el perquè del n − 1), eficiència i consistència — i mesurar-ne la precisió amb l'error típic. I hem conegut la t de Student, la campana de cues amples que substitueix la normal quan \( \sigma \) s'estima amb \( s \), juntament amb la seva taula i els seus graus de llibertat.

Però una estimació puntual amb el seu error típic és una resposta a mitges: la Marta no vol sentir «126,40 € amb un ball d'uns 5 €», sinó alguna cosa com «entre tant i tant, amb un 95 % de confiança». Convertir l'error típic en una forquilla amb garanties — i respondre per fi la pregunta que el comitè va deixar a l'aire sobre el 8,1 de satisfacció — és l'objectiu de la pròxima lliçó: els Intervals de Confiança.