L'estimació de paràmetres és una part fonamental de la inferència estadística. Consisteix en utilitzar dades mostral per inferir els valors dels paràmetres desconeguts d'una població. Hi ha dues categories principals d'estimació: l'estimació puntual i l'estimació per intervals.

1. Comprendre els conceptes bàsics d'estimació de paràmetres.
2. Diferenciar entre estimació puntual i estimació per intervals.
3. Aprendre a calcular estimadors puntuals comuns.
4. Entendre el concepte d'interval de confiança i com es calcula.

L'estimació puntual és el procés d'utilitzar una sola estadística de mostra per estimar un paràmetre de població. Els estimadors puntuals més comuns són:

• Mitjana Mostral (\(\bar{x}\)): Utilitzada per estimar la mitjana poblacional (\(\mu\)).
• Proporció Mostral (\(\hat{p}\)): Utilitzada per estimar la proporció poblacional (\(p\)).
• Variància Mostral (\(s^2\)): Utilitzada per estimar la variància poblacional (\(\sigma^2\)).

L'estimació per intervals proporciona un rang de valors dins del qual es creu que es troba el paràmetre poblacional amb una certa probabilitat. Aquest rang es coneix com a interval de confiança.

• Interval de Confiança per a la Mitjana: \(\bar{x} \pm z \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)
• Interval de Confiança per a la Proporció: \(\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

La mitjana mostral (\(\bar{x}\)) es calcula com:

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

Exemple:

Si tenim les dades mostral següents: 5, 7, 8, 6, 9, la mitjana mostral és:

\[ \bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 6 + 9}{5} = 7 \]

La proporció mostral (\(\hat{p}\)) es calcula com:

\[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]

on \(x\) és el nombre d'èxits en la mostra i \(n\) és la mida de la mostra.

Exemple:

Si en una mostra de 100 persones, 45 prefereixen el producte A, la proporció mostral és:

\[ \hat{p} = \frac{45}{100} = 0.45 \]

La variància mostral (\(s^2\)) es calcula com:

\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

Exemple:

Si tenim les dades mostral següents: 5, 7, 8, 6, 9, la variància mostral és:

\[ \bar{x} = 7 \]

\[ s^2 = \frac{(5-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (6-7)^2 + (9-7)^2}{5-1} = \frac{4 + 0 + 1 + 1 + 4}{4} = 2.5 \]

L'interval de confiança per a la mitjana, quan la desviació estàndard poblacional (\(\sigma\)) és coneguda, es calcula com:

\[ \bar{x} \pm z \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]

on \(z\) és el valor crític de la distribució normal estàndard per al nivell de confiança desitjat.

Exemple:

Si la mitjana mostral (\(\bar{x}\)) és 50, la desviació estàndard poblacional (\(\sigma\)) és 10, la mida de la mostra (\(n\)) és 25, i volem un interval de confiança del 95% (z = 1.96):

\[ 50 \pm 1.96 \left(\frac{10}{\sqrt{25}}\right) = 50 \pm 3.92 \]

Per tant, l'interval de confiança és [46.08, 53.92].

L'interval de confiança per a la proporció es calcula com:

\[ \hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

Exemple:

Si la proporció mostral (\(\hat{p}\)) és 0.45, la mida de la mostra (\(n\)) és 100, i volem un interval de confiança del 95% (z = 1.96):

\[ 0.45 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.45(1-0.45)}{100}} = 0.45 \pm 0.096 \]

Per tant, l'interval de confiança és [0.354, 0.546].

Calcula la mitjana mostral i la variància mostral per les dades següents: 10, 12, 9, 11, 13.

Solució:

\[ \bar{x} = \frac{10 + 12 + 9 + 11 + 13}{5} = 11 \]

\[ s^2 = \frac{(10-11)^2 + (12-11)^2 + (9-11)^2 + (11-11)^2 + (13-11)^2}{5-1} = \frac{1 + 1 + 4 + 0 + 4}{4} = 2.5 \]

En una mostra de 200 persones, 120 prefereixen el producte B. Calcula la proporció mostral i l'interval de confiança del 95%.

Solució:

\[ \hat{p} = \frac{120}{200} = 0.6 \]

\[ 0.6 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.6(1-0.6)}{200}} = 0.6 \pm 0.068 \]

Per tant, l'interval de confiança és [0.532, 0.668].

En aquesta secció, hem après els conceptes bàsics d'estimació de paràmetres, incloent l'estimació puntual i l'estimació per intervals. Hem vist com calcular estimadors puntuals comuns com la mitjana mostral, la proporció mostral i la variància mostral. També hem après a calcular intervals de confiança per a la mitjana i la proporció. Aquests conceptes són fonamentals per a la inferència estadística i ens permeten fer estimacions informades sobre paràmetres poblacionals basant-nos en dades mostral.