Les proves t, l'ANOVA o els intervals de la regressió comparteixen una lletra petita: suposen que les dades segueixen (aproximadament) una distribució coneguda, gairebé sempre la normal, o que la mostra és prou gran perquè el Teorema Central del Límit acudeixi al rescat. Però en el dia a dia de NovaMarket abunden les situacions on aquesta lletra petita no es compleix: vuit valoracions d'un pilot, escales de satisfacció del 0 al 10 que són ordinals més que no pas numèriques, un temps de lliurament desbaratat que arrossega la mitjana. Els mètodes no paramètrics són l'alternativa: proves que no exigeixen suposar una distribució concreta perquè treballen amb rangs (posicions ordenades) en comptes de fer-ho amb els valors originals. En aquesta lliçó aprendràs quan recórrer-hi, quin preu es paga, i les quatre proves essencials — signes, Wilcoxon, Mann-Whitney i Kruskal-Wallis — amb càlculs a mà assumibles. Tanca el mòdul amb la taula-guia que aparella cada prova paramètrica amb la seva alternativa.

1. Quan fallen els supòsits paramètrics
2. Què es guanya i què es perd: el preu en potència
3. La prova dels signes: la idea més simple
4. Wilcoxon de rangs amb signe: dades aparellades
5. U de Mann-Whitney: dues mostres independents
6. Kruskal-Wallis: l'alternativa a l'ANOVA
7. Spearman, revisitat
8. Taula-guia i diagrama de decisió

Tres escenaris típics fan saltar l'alarma:

• No normalitat amb mostra petita. Amb \(n\) gran, el TCL protegeix la mitjana mostral encara que la població sigui asimètrica; amb \(n = 8\) o \(n = 12\), no hi ha teorema que hi valgui: si les dades són asimètriques (com els temps de lliurament, amb la seva cua dreta — mediana 25,5 h i un 13 % fora de SLA), la prova t pot donar valors p que no signifiquen el que diuen.
• Dades ordinals. Una satisfacció de 8 és més que una de 4, però és «el doble»? Les escales de valoració ordenen però no garanteixen distàncies iguals entre punts; calcular mitjanes i desviacions sobre elles és, en rigor, abusiu. Els rangs fan servir exactament la informació que l'escala sí que ofereix: l'ordre.
• Atípics extrems. Un sol valor salvatge infla \(\bar{x}\) i sobretot \(s\), i pot tant fabricar significació falsa com emmascarar un efecte real. Els rangs en són immunes: el valor més gran rep l'últim rang, tant li fa que sigui 48 o 4.800.

La idea comuna de totes les proves d'aquesta lliçó: substituir cada dada per la seva posició en l'ordenació conjunta i fer la inferència sobre aquestes posicions. Com que els rangs de \(n\) dades són sempre \(1, 2, \dots, n\), el seu comportament sota la hipòtesi nul·la es coneix exactament, sense suposar res sobre la distribució original. Per això aquestes proves solen contrastar hipòtesis sobre medianes (o sobre «tendència a valors més grans») en lloc de sobre mitjanes.

No hi ha dinar de franc. En passar dels valors als rangs es descarta informació (que 48 h és molt lluny de 29 h, no només «després»), i descartar informació costa potència (Mòdul 5: la capacitat de detectar un efecte que existeix).

Dues conseqüències pràctiques: primera, si els supòsits paramètrics s'aguanten, fes servir la prova paramètrica — la pèrdua de potència del mètode no paramètric és petita però és una pèrdua; segona, el resultat no paramètric és menys ric (diu «hi ha diferència», però no dona un interval en euros sobre la mitjana), així que acompanya'l sempre de descriptius robustos: medianes i rangs interquartílics, que ja domines del Mòdul 2.

Comencem per la prova no paramètrica més elemental, útil per a dades aparellades (abans/després en les mateixes unitats). La seva lògica cap en una frase: si el tractament no fes res, cada unitat tindria un 50 % de probabilitat de millorar i un 50 % d'empitjorar — així que el nombre de millores seria una binomial amb \(p = 0{,}5\), la vella coneguda del Mòdul 4.

Exemple llampec: NovaMarket prova una promoció de fruita de temporada en 10 botigues, comparant la venda de frescos de la setmana de promoció amb la de la setmana anterior. Pugen 9 botigues i en baixa 1 (els empats exactes es descarten). Sota la hipòtesi nul·la, el nombre de pujades és \(Bin(10;, 0{,}5)\):

\[ P(X \geq 9) = P(X=9) + P(X=10) = \frac{10 + 1}{2^{10}} = \frac{11}{1024} \approx 0{,}0107 \]

A dues cues, valor p ≈ 0,021 < 0,05: la promoció va moure les vendes. La prova dels signes només fa servir la direcció de cada canvi, ignorant-ne la mida; és la menys potent de la família, però també la de supòsits més febles i la més fàcil d'explicar en un comitè. El pas següent natural és aprofitar també la mida dels canvis — sense tornar a les mitjanes — fent servir els seus rangs: això és Wilcoxon.

La prova de Wilcoxon de rangs amb signe és l'alternativa no paramètrica a la t aparellada. Cas: Valencia-Ruzafa ha estrenat reforma, i 8 clients del panell de mystery shoppers van puntuar la botiga abans i després:

Pas a pas:

1. Calcular les diferències després − abans (els zeros es descarten; aquí no n'hi ha).
2. Ordenar per valor absolut i assignar rangs: el menor \(\lvert d \rvert\) (0,1) rep rang 1, i així successivament. Els tres 0,9 empaten en les posicions 6, 7 i 8, així que cadascun rep el rang mitjà \((6+7+8)/3 = 7\).
3. Sumar per separat els rangs de les diferències positives i negatives:
   • \(W^+ = 5 + 3 + 7 + 4 + 7 + 7 = 33\)
   • \(W^- = 2 + 1 = 3\)
   • Comprovació: \(33 + 3 = 36 = \frac{8 \times 9}{2}\) ✓ (la suma de rangs de \(n\) dades sempre és \(n(n+1)/2\)).
4. Estadístic: \(W = \min(W^+, W^-) = 3\). La lògica: si la reforma no canviés res, positius i negatius es repartirien els rangs a parts iguals (cada suma rondaria 18); una \(W\) molt petita delata el desequilibri.
5. Decisió: per a \(n = 8\) i \(\alpha = 0{,}05\) bilateral, el valor crític tabulat és 3 — es rebutja \(H_0\) si \(W \leq 3\). Com que \(W = 3\), es rebutja: la millora de valoracions després de la reforma és estadísticament significativa.

Fixa't en el contrast amb la prova dels signes: amb 6 millores i 2 empitjoraments, la dels signes no hauria assolit la significació (\(P(X \geq 6) \approx 0{,}145\) per a una cua); Wilcoxon sí, perquè a més de comptar direccions observa que els empitjoraments són minúsculs (rangs 1 i 2) i les millores, grans. Aquest ús extra d'informació és potència recuperada.

Per a \(n > 20\)–25, \(W\) s'aproxima bé per una normal i el programari dona un valor p directament; el mecanisme de rangs és el mateix.

La prova U de Mann-Whitney (equivalent a la de Wilcoxon de suma de rangs) és l'alternativa a la t de dues mostres independents. Cas: logística compara els temps de lliurament (hores) dels dos transportistes que reparteixen la zona centre. Mostres petites i una distribució que sabem asimètrica: terreny no paramètric.

• Transportista A (\(n_1 = 5\)): 21, 23, 26, 29, 34
• Transportista B (\(n_2 = 6\)): 28, 31, 35, 38, 41, 44

Pas a pas:

1. Ordenar les 11 observacions juntes i assignar rangs globals:

2. Sumar els rangs d'un grup: \(R_A = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 18\).
3. Calcular U:

\[ U_A = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_A = 30 + 15 - 18 = 27 \qquad U_B = n_1 n_2 - U_A = 30 - 27 = 3 \]

\(U_B = 3\) té una lectura molt concreta: dels \(5 \times 6 = 30\) encreuaments possibles entre una dada d'A i una de B, només en 3 la de B arriba abans. L'estadístic és \(U = \min(U_A, U_B) = 3\).

4. Decisió: el valor crític tabulat per a \(n_1 = 5\), \(n_2 = 6\), \(\alpha = 0{,}05\) bilateral és 3 — es rebutja si \(U \leq 3\). Com que \(U = 3\), es rebutja: el transportista A lliura sistemàticament abans (mediana 26 h davant de 36,5 h). Amb l'SLA en joc, hi ha argument estadístic per renegociar el repartiment de rutes.

Avantatge afegit en aquest context: si demà una comanda de B triga 90 hores per una incidència, el seu rang continuaria sent 11 i la conclusió no es mouria — la mateixa prova t hauria vist la seva \(s\) inflar-se i potser perdre la significació per culpa de l'atípic.

I amb més de dos grups? La prova de Kruskal-Wallis estén Mann-Whitney a \(k\) grups igual que l'ANOVA de 06-03 estenia la t. La hipòtesi nul·la: les \(k\) poblacions tenen la mateixa distribució (mateixes medianes); la mecànica: rangs globals i comparar les sumes de rangs per grup amb allò esperable sota \(H_0\):

\[ H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1) \]

on \(N\) és el total d'observacions i \(R_i\) la suma de rangs del grup \(i\). Sota \(H_0\), \(H\) segueix aproximadament una khi quadrat amb \(k-1\) graus de llibertat — la mateixa distribució de 06-04 en un paper nou.

Cas operatiu: en lloc de les mitjanes de satisfacció per format de l'ANOVA, auditoria interna puntua el compliment d'estàndards de botiga (escala ordinal 0–10) en 4 botigues de cada format:

Amb \(N = 12\):

\[ H = \frac{12}{12 \times 13}\left(\frac{10^2}{4} + \frac{26^2}{4} + \frac{42^2}{4}\right) - 3 \times 13 = \frac{12}{156}(25 + 169 + 441) - 39 = 0{,}0769 \times 635 - 39 = 9{,}85 \]

Comparant amb \(\chi^2_{0{,}05;,2} = 5{,}99\): com que \(9{,}85 > 5{,}99\), es rebutja \(H_0\) (valor p ≈ 0,007): el compliment d'estàndards difereix entre formats, amb els rangs escalant netament d'Express a Gran Superfície — l'eco no paramètric del gradient 7,0/8,0/9,0 que l'ANOVA va trobar en satisfacció. Igual que l'ANOVA, Kruskal-Wallis és una prova òmnibus: diu que algun grup difereix, no quin; per localitzar-lo es fan comparacions dos a dos amb Mann-Whitney corregint per comparacions múltiples (Bonferroni, com a 06-03).

La correlació de Spearman ja la coneixes de 06-01: és exactament el coeficient de Pearson calculat sobre rangs, i per això pertany de ple dret a aquesta família. Aquí només cal situar-la: és l'alternativa no paramètrica a Pearson quan la relació és monòtona però no lineal, quan hi ha atípics o quan alguna variable és ordinal. El \(r_s = -0{,}95\) entre temps de lliurament i satisfacció que vam calcular llavors és una anàlisi no paramètrica feta i pastada — ja estaves fent servir rangs abans de saber que allò tenia nom.

La taula que resumeix el mòdul 5, el 6 i aquesta lliçó — la xuleta definitiva per triar prova:

I el diagrama de decisió:

Existeix a més una tercera via moderna que només deixem esmentada: el bootstrap, que substitueix els supòsits per remostreig intensiu amb ordinador.

• Fer servir mètodes no paramètrics «per si de cas» amb dades normals i n gran. Regales potència sense necessitat; el no paramètric és un pla B fonamentat, no el pla per defecte.
• Interpretar Mann-Whitney o Kruskal-Wallis com a comparacions de mitjanes. Contrasten medianes/desplaçament; reporta medianes i RIQ juntament amb el valor p, no mitjanes.
• Oblidar el tractament dels empats. Els valors repetits reben el rang mitjà de les seves posicions (els tres 0,9 de l'exemple → rang 7 cadascun); repartir rangs arbitràriament entre empatats canvia el resultat.
• Descartar malament els zeros i empats en signes/Wilcoxon. Les diferències exactament zero s'eliminen abans de comptar \(n\); oblidar-ho desplaça els valors crítics.
• Confondre el sentit de la regla de decisió. En Wilcoxon i Mann-Whitney es rebutja quan l'estadístic és menor o igual que el crític tabulat (al revés que en t, F o khi quadrat, on es rebutja per dalt). És la distracció clàssica amb aquestes taules.
• Saltar-se la correcció per comparacions múltiples després de Kruskal-Wallis. Fer tres Mann-Whitney a \(\alpha = 0{,}05\) sense corregir infla l'error tipus I global, exactament igual que en el post-hoc de l'ANOVA.
• Renunciar als descriptius. «p < 0,05 amb Mann-Whitney» no li diu a la Marta quant millor és el transportista A; la mediana de cada grup (26 h vs 36,5 h) sí.

Es prova una nova disposició de la secció de drogueria en 9 botigues, comparant vendes de la categoria abans i després. Pugen 8 botigues i en baixa 1. Aplica la prova dels signes amb \(\alpha = 0{,}05\) bilateral. (Ajuda: \(P(X \geq 8)\) amb \(Bin(9;,0{,}5)\) = \( (9 + 1 + \binom{9}{7} \cdot 0)/2^9 \)... calcula \(P(X=8) + P(X=9)\).)

Sis empleats de Bilbao-Casco van valorar el clima laboral (0–10) abans i després d'un canvi de torns: diferències després − abans: +1,5; +0,5; −0,3; +1,1; +0,8; −0,6. Fes la prova de Wilcoxon de rangs amb signe (valor crític bilateral per a \(n = 6\), \(\alpha = 0{,}05\): es rebutja si \(W \leq 0\)).

Temps (minuts) a resoldre una incidència de caixa en dues botigues: Madrid-Chamberí (\(n_1 = 4\)): 5, 7, 8, 12; Zaragoza-Centro (\(n_2 = 5\)): 9, 13, 15, 18, 40. Calcula la U de Mann-Whitney (valor crític bilateral per a \(n_1 = 4, n_2 = 5\), \(\alpha = 0{,}05\): es rebutja si \(U \leq 1\)) i comenta el paper del valor 40.

Exercici 1.

\(P(X = 8) = \binom{9}{8}/2^9 = 9/512\); \(P(X = 9) = 1/512\). Una cua: \(10/512 \approx 0{,}0195\); bilateral: \(\approx 0{,}039 < 0{,}05\). Es rebutja \(H_0\): la nova disposició mou les vendes de drogueria. Error freqüent: oblidar duplicar per al contrast bilateral i reportar 0,0195 — si la pregunta era «canvia?» (no «puja?»), el valor p és el doble.

Exercici 2.

Valors absoluts ordenats: 0,3 (rang 1); 0,5 (2); 0,6 (3); 0,8 (4); 1,1 (5); 1,5 (6). Sumes: \(W^- = 1 + 3 = 4\) (les diferències −0,3 i −0,6); \(W^+ = 2 + 4 + 5 + 6 = 17\); comprovació \(4 + 17 = 21 = 6 \times 7/2\) ✓. \(W = \min = 4 > 0\): no es rebutja \(H_0\). Amb \(n = 6\), només un resultat perfecte (totes les diferències del mateix signe) assoliria la significació: la mostra és massa petita per concloure — cosa que connecta amb la lliçó de potència: absència d'evidència no és evidència d'absència. Error freqüent: assignar els rangs sobre les diferències amb signe en lloc de sobre els seus valors absoluts.

Exercici 3.

Ordenació conjunta: 5(1), 7(2), 8(3), 9(4), 12(5), 13(6), 15(7), 18(8), 40(9). Rangs de Chamberí: 1, 2, 3, 5 → \(R_1 = 11\). \(U_1 = 4 \times 5 + \frac{4 \times 5}{2} - 11 = 20 + 10 - 11 = 19\); \(U_2 = 20 - 19 = 1\). \(U = 1 \leq 1\): es rebutja \(H_0\): Chamberí resol les incidències més ràpid (medianes 7,5 vs 15 min). El valor 40 (una incidència que va caldre escalar?) rep simplement el rang 9: la conclusió seria idèntica si fos 20 o 400 — amb una prova t, aquella única dada hauria disparat la desviació típica de Zaragoza i probablement arruïnat la significació. Error freqüent: calcular U amb la suma de rangs del grup equivocat sense ajustar la fórmula; comprova sempre que \(U_1 + U_2 = n_1 n_2\).

Amb aquesta lliçó es tanca l'arsenal tècnic del curs: saps quan els supòsits paramètrics fallen (n petit sense normalitat, ordinals, atípics), què costa renunciar-hi (una mica de potència i la riquesa de l'efecte en unitats), i domines l'escala completa — signes per a la direcció, Wilcoxon per a parells, Mann-Whitney per a dos grups, Kruskal-Wallis per a diversos, Spearman per a associació — juntament amb la taula-guia i el diagrama que aparellen cada prova paramètrica amb el seu doble robust. La reforma de Valencia-Ruzafa, el transportista lent i el gradient d'estàndards per format han caigut davant proves que no demanen permís a la campana de Gauss.

I amb el Mòdul 7 acaba també la construcció d'eines: descriptiva, probabilitat, distribucions, inferència, regressió, ANOVA, khi quadrat, sèries temporals, multivariant i no paramètrics. El que queda és el més semblant a la feina real d'un analista: enfrontar-se a un cas complet i decidir, sense que ningú xiuxiuegi el mètode, quina eina respon a quina pregunta. Això és el Mòdul 8: aplicar tot l'arsenal, sector a sector, començant pel terreny natural de NovaMarket — l'Estadística en Negocis.