A la lliçó anterior vam aprendre a assignar probabilitats a esdeveniments aïllats: la probabilitat que un tiquet es pagui amb targeta és 0,61; la que una resposta de l'enquesta sigui d'un client satisfet, 0,712. Però les preguntes que la Marta porta al comitè combinen esdeveniments: «quin percentatge de respostes són de l'app i a més insatisfetes?», «sabent que una comanda va arribar tard, quin transportista la duia probablement?». Aquesta lliçó presenta les eines per calcular probabilitats combinades: la regla de la suma, la probabilitat condicionada, la regla del producte, la distinció entre independència i incompatibilitat (font de l'error més clàssic de tot el curs), i dos resultats que a l'empresa valen el seu pes en or: el teorema de la probabilitat total i el teorema de Bayes. Com a eines de treball farem servir taules de contingència i diagrames d'arbre.

1. La regla de la suma (amb i sense incompatibilitat)
2. Probabilitat condicionada
3. La regla del producte
4. Independència vs dependència (i per què no és el mateix que incompatibilitat)
5. Taules de contingència: canal × satisfacció
6. Diagrames d'arbre i el teorema de la probabilitat total
7. El teorema de Bayes i la fal·làcia de la taxa base: frau en comandes en línia

Volem \( P(A \cup B) \): la probabilitat que ocorri \( A \), \( B \) o tots dos.

Cas fàcil: esdeveniments incompatibles. Si \( A \cap B = \varnothing \), n'hi ha prou de sumar (és el tercer axioma de Kolmogórov):

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Exemple: probabilitat que un euro de venda sigui de fresca o de begudes: \( 0{,}38 + 0{,}14 = 0{,}52 \).

Cas general: esdeveniments compatibles. Si \( A \) i \( B \) poden coincidir, sumar les seves probabilitats compta la intersecció dues vegades (una dins de \( P(A) \) i una altra dins de \( P(B) \)), així que cal restar-la una vegada:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Exemple NovaMarket: triem un tiquet a l'atzar. El 61 % dels tiquets es paguen amb targeta (\( P(T)=0{,}61 \)), el 45 % inclouen algun producte fresc (\( P(F)=0{,}45 \) — atenció, això és una proporció de tiquets, no la quota del 38 % sobre euros de venda que vam veure al Mòdul 2), i el 29 % compleixen totes dues coses alhora (\( P(T \cap F)=0{,}29 \)). Aleshores:

\[ P(T \cup F) = 0{,}61 + 0{,}45 - 0{,}29 = 0{,}77 \]

El 77 % dels tiquets es paguen amb targeta, porten producte fresc, o totes dues coses. Si haguéssim sumat sense restar hauríem obtingut 1,06 — una probabilitat més gran que 1, senyal inequívoc que alguna cosa s'ha comptat dues vegades.

La probabilitat condicionada \( P(A \mid B) \) — es llegeix «probabilitat d'A donat B» — és la probabilitat de \( A \) sabent que \( B \) ha ocorregut. La informació retalla l'espai mostral: ja no considerem tots els resultats possibles, només aquells en què \( B \) ocorre.

\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad \text{(sempre que } P(B) > 0\text{)} \]

La intuïció: del «pastís» de casos en què ocorre \( B \), quina porció correspon també a \( A \)?

Exemple ràpid: amb els tiquets d'abans, quina probabilitat hi ha que un tiquet porti producte fresc sabent que es va pagar amb targeta?

\[ P(F \mid T) = \frac{P(F \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}29}{0{,}61} \approx 0{,}475 \]

Entre els tiquets amb targeta, el 47,5 % porten fresc — una mica més que el 45 % general. Condicionar canvia la probabilitat perquè canvia la població de referència. Fixa't també que l'ordre importa: \( P(F \mid T) = 0{,}475 \) no és el mateix que \( P(T \mid F) = 0{,}29/0{,}45 \approx 0{,}644 \). Confondre \( P(A \mid B) \) amb \( P(B \mid A) \) és un error tan freqüent que té nom (fal·làcia de la condicional transposada) i hi tornarem amb el teorema de Bayes.

Aïllant de la definició anterior obtenim la regla del producte, que serveix per calcular la probabilitat que dos esdeveniments ocorrin alhora:

\[ P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \]

Exemple: el 20 % de les respostes de l'enquesta arriben per en línia (\( P(O) = 0{,}20 \)) i, entre elles, el 62,5 % són de satisfets (\( P(S \mid O) = 0{,}625 \), ho justificarem amb la taula de contingència). Probabilitat que una resposta a l'atzar sigui «en línia i satisfet»:

\[ P(O \cap S) = 0{,}20 \times 0{,}625 = 0{,}125 \]

Dos esdeveniments són independents quan saber que un ha ocorregut no canvia la probabilitat de l'altre:

\[ A \text{ i } B \text{ independents} \iff P(A \mid B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Si condicionar canvia la probabilitat, els esdeveniments són dependents (cosa que no implica causalitat: només associació, matís que desenvoluparem a l'anàlisi de correlació).

• A l'exemple dels tiquets, \( P(F) = 0{,}45 \) però \( P(F \mid T) = 0{,}475 \): pagar amb targeta i portar fresc són (lleugerament) dependents.
• En canvi, si la probabilitat que una comanda en línia arribi tard és la mateixa els dilluns que qualsevol altre dia, «arribar tard» i «ser dilluns» són independents.

L'error clàssic: confondre independència amb incompatibilitat. Són idees gairebé oposades:

Si \( A \) i \( B \) són incompatibles i ocorre \( B \), la probabilitat de \( A \) passa a ser 0: la informació de \( B \) ho canvia tot. Dependència màxima, no pas independència.

Quan creuem dues variables qualitatives, la taula de contingència converteix tots els càlculs anteriors en simples divisions. La Marta creua les 640 respostes de l'enquesta per canal i per nivell de satisfacció (satisfet = nota ≥ 8):

Comprovació: \( 456/640 = 0{,}7125 \approx 71{,}2,% \) de satisfets, coherent amb el Mòdul 2. De la taula en surten directament els tres tipus de probabilitat:

• Conjunta (cel·la / total global): \( P(\text{En línia} \cap \text{Satisfet}) = 80/640 = 0{,}125 \).
• Marginal (marge / total global): \( P(\text{En línia}) = 128/640 = 0{,}20 \).
• Condicionada (cel·la / total de la seva fila o columna): \( P(\text{Satisfet} \mid \text{En línia}) = 80/128 = 0{,}625 \).

I la pregunta d'independència es respon comparant condicionades amb marginals:

\[ P(\text{Satisfet} \mid \text{Botiga}) = \frac{336}{448} = 0{,}75 \qquad P(\text{Satisfet} \mid \text{En línia}) = 0{,}625 \qquad P(\text{Satisfet} \mid \text{App}) = \frac{40}{64} = 0{,}625 \]

Com que no coincideixen amb la marginal \( P(\text{Satisfet}) = 0{,}7125 \), canal i satisfacció són dependents: la satisfacció és més alta a botiga que als canals digitals, en línia amb les mitjanes que ja coneixíem (8,3 / 7,6 / 7,9). Si aquesta dependència és «estadísticament significativa» o atribuïble a l'atzar mostral és una altra pregunta, que respondrà el test khi quadrat molt més endavant.

Quan l'experiment passa per etapes (primer una cosa, després una altra), el diagrama d'arbre és l'eina natural: cada branca porta la seva probabilitat, les branques que surten d'un mateix nus sumen 1, i la probabilitat d'un camí complet és el producte de les seves branques (la regla del producte en acció).

Cas NovaMarket: lliuraments d'e-commerce. NovaMarket reparteix les seves comandes en línia amb dos transportistes: LogiExpress mou el 70 % dels enviaments i lliura tard (fora de l'SLA de 48 h) el 8 % de les vegades; RápidoSur mou el 30 % restant i arriba tard el 15 % de les vegades.

Quina probabilitat té una comanda qualsevol d'arribar tard? Una comanda que arriba tard ho fa per un de dos camins incompatibles (tard amb LogiExpress, o tard amb RápidoSur), així que sumem els camins:

\[ P(\text{Tard}) = P(L),P(\text{Tard} \mid L) + P(S),P(\text{Tard} \mid S) = 0{,}70 \times 0{,}08 + 0{,}30 \times 0{,}15 = 0{,}056 + 0{,}045 = 0{,}101 \]

Això és el teorema de la probabilitat total: si \( B_1, B_2, \dots, B_k \) formen una partició de l'espai mostral (incompatibles entre si i cobrint-lo tot),

\[ P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(B_i),P(A \mid B_i) \]

És una mitjana ponderada de les condicionades, amb les probabilitats dels escenaris com a pesos — la mateixa lògica de la mitjana ponderada que vam veure al Mòdul 2. Resultat de negoci: un 10,1 % de comandes que arriben tard vol dir un compliment de l'SLA del 89,9 %, just per sota de l'objectiu «90 % en < 48 h». La Marta vol saber on estrènyer, i per a això necessita capgirar la pregunta.

Fins ara raonàvem «cap endavant»: del transportista al retard. El teorema de Bayes permet raonar «cap enrere»: observat l'efecte (la comanda va arribar tard), quina probabilitat té cada causa (cada transportista)?

\[ P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i),P(A \mid B_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i),P(A \mid B_i)}{\sum_j P(B_j),P(A \mid B_j)} \]

El numerador és el camí de l'arbre que ens interessa; el denominador, la probabilitat total (tots els camins que produeixen \( A \)).

Aplicació al repartiment: un client truca perquè la seva comanda va arribar tard. Probabilitat que la dugués RápidoSur?

\[ P(S \mid \text{Tard}) = \frac{0{,}30 \times 0{,}15}{0{,}101} = \frac{0{,}045}{0{,}101} \approx 0{,}446 \]

RápidoSur només mou el 30 % de les comandes, però és darrere del 44,6 % dels retards: la informació «va arribar tard» gairebé duplica la seva probabilitat (de 0,30 a priori a 0,446 a posteriori). Aquest és exactament el tipus d'actualització de creences que Bayes formalitza.

L'equip d'e-commerce estrena un sistema antifrau. Dades del problema:

• El 0,5 % de les comandes en línia són fraudulentes: \( P(\text{Frau}) = 0{,}005 \) (la taxa base).
• Si una comanda és fraudulenta, el sistema la marca el 92 % de les vegades: \( P(\text{Alerta} \mid \text{Frau}) = 0{,}92 \) (sensibilitat).
• Si una comanda és legítima, el sistema s'equivoca i la marca el 4 % de les vegades: \( P(\text{Alerta} \mid \text{Legítima}) = 0{,}04 \) (taxa de falsos positius).

El sistema marca una comanda. El responsable d'e-commerce exclama: «92 % segur que és frau, cancel·lem-la!». Vegem què en diu Bayes. Pas 1, probabilitat total de rebre una alerta:

\[ P(\text{Alerta}) = \underbrace{0{,}005 \times 0{,}92}{\text{fraus marcats}} + \underbrace{0{,}995 \times 0{,}04}{\text{legítimes marcades}} = 0{,}0046 + 0{,}0398 = 0{,}0444 \]

Pas 2, Bayes:

\[ P(\text{Frau} \mid \text{Alerta}) = \frac{0{,}0046}{0{,}0444} \approx 0{,}104 \]

Només el 10,4 % de les alertes són fraus reals. Per veure-ho sense fórmules, imagina 10.000 comandes:

De 444 alertes, només 46 són frau: \( 46/444 \approx 0{,}104 \). El responsable va confondre \( P(\text{Alerta} \mid \text{Frau}) = 0{,}92 \) amb \( P(\text{Frau} \mid \text{Alerta}) = 0{,}104 \). Ignorar que el frau és raríssim de partida (0,5 %) s'anomena fal·làcia de la taxa base: quan l'esdeveniment buscat és rar, fins i tot un detector bo genera majoritàriament falsos positius. Conseqüència pràctica: les alertes no han de cancel·lar comandes automàticament, sinó disparar una verificació addicional barata (i la nota positiva: sense alerta, \( P(\text{Frau} \mid \text{Sense alerta}) = 4/9.556 \approx 0{,}0004 \), el sistema sí que serveix per descartar).

• Sumar probabilitats d'esdeveniments compatibles sense restar la intersecció. Si el resultat supera 1, és el senyal d'aquest error. La fórmula general \( P(A)+P(B)-P(A \cap B) \) no falla mai; la versió curta només val amb incompatibles.
• Confondre \( P(A \mid B) \) amb \( P(B \mid A) \). «El 92 % dels fraus generen alerta» no és «el 92 % de les alertes són frau». Davant del dubte, construeix la taula de 10.000 casos: fa l'error impossible.
• Tractar esdeveniments incompatibles com a independents. Incompatibles amb probabilitat positiva = dependència extrema. Repeteix-ho fins a interioritzar-ho.
• Multiplicar \( P(A) \cdot P(B) \) sense comprovar la independència. La regla del producte general fa servir \( P(A),P(B \mid A) \); la drecera \( P(A)P(B) \) només és vàlida si la independència està justificada (per disseny del procés o verificada amb dades).
• Oblidar la taxa base. Tota probabilitat a posteriori barreja dos ingredients: l'evidència (sensibilitat, falsos positius) i la prevalença a priori. Ometre la segona infla dramàticament el resultat.
• Consell pràctic: davant de qualsevol problema de probabilitat amb dues variables, dibuixa primer la taula de contingència o l'arbre. El 90 % dels errors desapareixen en organitzar les dades abans de calcular.

Exercici 1. Amb la taula de contingència canal × satisfacció de la lliçó, calcula: (a) \( P(\text{App} \cup \text{Satisfet}) \); (b) \( P(\text{No satisfet} \mid \text{App}) \); (c) són «App» i «Satisfet» independents? Justifica-ho amb números.

Exercici 2. A Madrid-Chamberí, el 61 % dels tiquets es paguen amb targeta. El 25 % dels tiquets amb targeta superen els 50 €, mentre que només el 10 % dels tiquets sense targeta superen aquesta xifra. (a) Dibuixa mentalment (o en paper) l'arbre i calcula la probabilitat que un tiquet qualsevol superi els 50 €. (b) Un tiquet supera els 50 €: probabilitat que es pagués amb targeta?

Exercici 3. La Marta prepara un model de predicció de baixes del Club Nova: el 3 % dels socis es donen de baixa cada any; el model assenyala el 80 % dels que es donaran de baixa, però també (incorrectament) el 9 % dels que no. Un soci apareix assenyalat: quina és la probabilitat que realment es vagi a donar de baixa? Val la pena trucar-li per oferir-li un descompte de retenció que costa 15 € si un soci retingut aporta de mitjana 120 € l'any? Raona-ho.

Solució 1. (a) Regla de la suma general: \( P(\text{App}) + P(\text{S}) - P(\text{App} \cap \text{S}) = \frac{64}{640} + \frac{456}{640} - \frac{40}{640} = \frac{480}{640} = 0{,}75 \). (b) \( P(\text{No S} \mid \text{App}) = 24/64 = 0{,}375 \). (c) No: \( P(\text{S} \mid \text{App}) = 0{,}625 \neq 0{,}7125 = P(\text{S}) \). Saber que la resposta va venir de l'app rebaixa la probabilitat de satisfacció, per tant són dependents. Error freqüent a (a): oblidar restar els 40 satisfets de l'app, que estan comptats en tots dos sumands.

Solució 2. (a) Probabilitat total: \( P(>50) = 0{,}61 \times 0{,}25 + 0{,}39 \times 0{,}10 = 0{,}1525 + 0{,}039 = 0{,}1915 \), un 19,15 % dels tiquets. (b) Bayes: \( P(\text{Targeta} \mid >50) = 0{,}1525 / 0{,}1915 \approx 0{,}796 \). Gairebé el 80 % dels tiquets grans van amb targeta, davant del 61 % general: l'import alt «estira» cap a la targeta. Error freqüent: respondre 0,25 a (b) — això és \( P(>50 \mid \text{Targeta}) \), la condicional transposada.

Solució 3. Probabilitat total de ser assenyalat: \( P(\text{Senyal}) = 0{,}03 \times 0{,}80 + 0{,}97 \times 0{,}09 = 0{,}024 + 0{,}0873 = 0{,}1113 \). Bayes: \( P(\text{Baixa} \mid \text{Senyal}) = 0{,}024/0{,}1113 \approx 0{,}216 \). Només 1 de cada 5 assenyalats es donarà de baixa realment — la taxa base del 3 % pesa molt. Val la pena? Càlcul orientatiu per soci assenyalat: cost segur de 15 €; benefici esperat si evita la baixa ≈ \( 0{,}216 \times 120 = 25{,}92 \) € (suposant, simplificant, que el descompte reté el soci). Com que 25,92 € > 15 €, la trucada compensa encara que el 78 % de les trucades «sobrin». Retroalimentació: aquest raonament de «valor esperat» el formalitzarem a la lliçó següent; i compte amb la trampa habitual de descartar el model «perquè falla el 78 % de les vegades»: amb esdeveniments rars, la vara de mesurar no és el percentatge d'encerts sinó si la probabilitat a posteriori (21,6 %) millora prou la taxa base (3 %) per actuar amb rendibilitat — aquí la multiplica per 7.

Ja sabem operar amb probabilitats: la regla de la suma (restant la intersecció quan els esdeveniments són compatibles), la probabilitat condicionada com a retallada de l'espai mostral, la regla del producte per a interseccions, i la diferència crucial entre independència (la informació no canvia res) i incompatibilitat (la informació ho canvia tot). Amb les taules de contingència i els diagrames d'arbre com a suport, el teorema de la probabilitat total ens ha donat la visió «cap endavant» (el 10,1 % de comandes arriba tard) i el teorema de Bayes la visió «cap enrere» (una alerta de frau només encerta el 10,4 % de les vegades), amb la fal·làcia de la taxa base com a advertiment permanent.

Fins aquí hem treballat amb esdeveniments descrits amb paraules. El pas següent és traduir l'atzar a números: en lloc de «la comanda arriba tard», definir una variable que compti quantes comandes arriben tard o mesuri quantes hores triga cadascuna, i assignar probabilitats a tots els seus valors possibles d'una sola vegada. Aquesta és la idea de variable aleatòria, i amb ella la d'esperança matemàtica — el fonament del «valor esperat» que acabem de fer servir a l'exercici de retenció. Ho veiem a Variables Aleatòries i Distribucions de Probabilitat.