En aquest tema, explorarem les regles fonamentals de la probabilitat que són essencials per a l'anàlisi estadística. Aquestes regles ens permeten calcular la probabilitat de diferents esdeveniments i comprendre com es relacionen entre si.
Conceptes Clau
- Esdeveniment: Un resultat o conjunt de resultats d'un experiment.
- Espai Mostral (S): El conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment.
- Probabilitat d'un Esdeveniment (P(A)): Una mesura de la possibilitat que un esdeveniment A ocorri, amb valors entre 0 i 1.
Regles Fonamentals de la Probabilitat
- Regla de la Probabilitat Total
La probabilitat de l'espai mostral és sempre 1.
\[ P(S) = 1 \]
- Regla de la Probabilitat d'Esdeveniments Mutuament Excloents
Si A i B són esdeveniments mutuament excloents (no poden ocórrer al mateix temps), la probabilitat que ocorri A o B és la suma de les seves probabilitats individuals.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
- Regla de la Probabilitat de la Unió d'Esdeveniments
Per a qualsevol dos esdeveniments A i B, la probabilitat que ocorri A o B és:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
- Regla de la Probabilitat Condicional
La probabilitat que ocorri l'esdeveniment A donat que ha ocorregut l'esdeveniment B es denota com \( P(A|B) \) i es calcula com:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
- Regla del Producte
La probabilitat que ocorri A i B (esdeveniments independents) és el producte de les seves probabilitats individuals.
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
- Regla de Bayes
La regla de Bayes permet actualitzar la probabilitat d'un esdeveniment basant-se en nova informació. Es formula com:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
Exemples Pràctics
Exemple 1: Probabilitat de la Unió d'Esdeveniments
Suposem que tenim dos esdeveniments A i B amb les següents probabilitats:
\[ P(A) = 0.3 \] \[ P(B) = 0.4 \] \[ P(A \cap B) = 0.1 \]
La probabilitat que ocorri A o B és:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.1 = 0.6 \]
Exemple 2: Probabilitat Condicional
Suposem que tenim dos esdeveniments A i B amb les següents probabilitats:
\[ P(A) = 0.5 \] \[ P(B) = 0.2 \] \[ P(A \cap B) = 0.1 \]
La probabilitat que ocorri A donat que ha ocorregut B és:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] \[ P(A|B) = \frac{0.1}{0.2} = 0.5 \]
Exercicis Pràctics
Exercici 1: Probabilitat de la Unió d'Esdeveniments
Suposem que tenim dos esdeveniments C i D amb les següents probabilitats:
\[ P(C) = 0.25 \] \[ P(D) = 0.35 \] \[ P(C \cap D) = 0.15 \]
Calcula la probabilitat que ocorri C o D.
Solució
\[ P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) \] \[ P(C \cup D) = 0.25 + 0.35 - 0.15 = 0.45 \]
Exercici 2: Probabilitat Condicional
Suposem que tenim dos esdeveniments E i F amb les següents probabilitats:
\[ P(E) = 0.6 \] \[ P(F) = 0.3 \] \[ P(E \cap F) = 0.18 \]
Calcula la probabilitat que ocorri E donat que ha ocorregut F.
Solució
\[ P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} \] \[ P(E|F) = \frac{0.18}{0.3} = 0.6 \]
Resum
En aquesta secció, hem après les regles fonamentals de la probabilitat, incloent la regla de la probabilitat total, la probabilitat d'esdeveniments mutuament excloents, la probabilitat de la unió d'esdeveniments, la probabilitat condicional, la regla del producte i la regla de Bayes. Aquests conceptes són essencials per a l'anàlisi estadística i ens permeten calcular la probabilitat de diferents esdeveniments i comprendre com es relacionen entre si.