En aquest tema, explorarem algunes de les distribucions de probabilitat més importants a part de les distribucions binomial i normal. Aquestes distribucions són fonamentals per a diverses aplicacions estadístiques i ens ajudaran a modelar diferents tipus de dades i fenòmens.
- Distribució de Poisson
Descripció
La distribució de Poisson és una distribució de probabilitat discreta que expressa la probabilitat de que un nombre determinat d'esdeveniments ocorri en un interval de temps fix o en una àrea fixa. Aquesta distribució és útil per modelar esdeveniments que ocorren de manera independent i a una taxa constant.
Fórmula
La funció de probabilitat de la distribució de Poisson és: \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] on:
- \( \lambda \) és el nombre mitjà d'esdeveniments en l'interval.
- \( k \) és el nombre d'esdeveniments.
- \( e \) és la base del logaritme natural (aproximadament 2.71828).
Exemple
Suposem que el nombre mitjà de trucades que rep un centre d'atenció telefònica és de 5 per minut. Quina és la probabilitat que el centre rebi exactament 3 trucades en un minut?
\[ P(X = 3) = \frac{5^3 e^{-5}}{3!} = \frac{125 e^{-5}}{6} \approx 0.1404 \]
Exercici Pràctic
Un supermercat rep una mitjana de 10 clients per hora. Quina és la probabilitat que en una hora determinada arribin exactament 8 clients?
Solució: \[ P(X = 8) = \frac{10^8 e^{-10}}{8!} \approx 0.1126 \]
- Distribució Exponencial
Descripció
La distribució exponencial és una distribució de probabilitat contínua que modela el temps entre esdeveniments en un procés de Poisson. És útil per modelar el temps d'espera entre esdeveniments independents que ocorren a una taxa constant.
Fórmula
La funció de densitat de probabilitat (PDF) de la distribució exponencial és: \[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \] on:
- \( \lambda \) és la taxa d'esdeveniments per unitat de temps.
- \( x \) és el temps entre esdeveniments.
Exemple
Si el temps mitjà entre trucades a un centre d'atenció és de 2 minuts, quina és la probabilitat que el temps entre dues trucades sigui menys de 1 minut?
\[ f(x < 1; \lambda = 0.5) = 1 - e^{-0.5 \cdot 1} = 1 - e^{-0.5} \approx 0.3935 \]
Exercici Pràctic
El temps mitjà entre fallades d'una màquina és de 4 hores. Quina és la probabilitat que la màquina funcioni sense fallar durant almenys 6 hores?
Solució: \[ P(X \geq 6) = 1 - P(X < 6) = 1 - (1 - e^{-6/4}) = e^{-1.5} \approx 0.2231 \]
- Distribució Chi-quadrat
Descripció
La distribució chi-quadrat és una distribució de probabilitat contínua que s'utilitza principalment en proves d'hipòtesis i en l'anàlisi de variància. És la distribució de la suma dels quadrats de \( k \) variables aleatòries normals estàndard independents.
Fórmula
La funció de densitat de probabilitat (PDF) de la distribució chi-quadrat és: \[ f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{(k/2)-1} e^{-x/2} \] on:
- \( k \) és el nombre de graus de llibertat.
- \( \Gamma \) és la funció gamma.
Exemple
Si tenim una mostra de 10 observacions, la distribució chi-quadrat amb 9 graus de llibertat (n-1) es pot utilitzar per avaluar la variabilitat de la mostra.
Exercici Pràctic
Suposem que tenim una mostra de 15 observacions. Quina és la probabilitat que la suma dels quadrats de 14 variables normals estàndard sigui menor que 25?
Solució: Utilitzant una taula de distribució chi-quadrat o un programari estadístic, podem trobar que: \[ P(X < 25; k = 14) \approx 0.05 \]
Resum
En aquesta secció, hem explorat algunes de les distribucions de probabilitat més importants a part de les distribucions binomial i normal. Hem après sobre la distribució de Poisson, la distribució exponencial i la distribució chi-quadrat, incloent les seves fórmules, exemples i exercicis pràctics. Aquestes distribucions són fonamentals per a diverses aplicacions estadístiques i ens ajudaran a modelar diferents tipus de dades i fenòmens.