Amb la binomial i la normal cobrim molt terreny, però no tot: quants clients arribaran a una caixa en els pròxims 10 minuts? (no hi ha un \( n \) fix d'assaigs); quants clients haurà d'abordar el promotor del Club Nova fins a captar el primer soci? (el nombre d'intents és justament la incògnita); quantes unitats defectuoses apareixeran en inspeccionar 8 d'una caixa de 50? (sense reemplaçament, la \( p \) canvia a cada extracció); quant de temps passarà fins a la pròxima comanda en línia? (una espera contínua i asimètrica, on ja hem vist que la normal fracassa). Cada pregunta té la seva plantilla: Poisson, geomètrica, hipergeomètrica, uniforme i exponencial. Aquesta lliçó les presenta una a una amb el criteri de l'analista — reconèixer la situació, identificar els paràmetres, calcular — i acaba amb la taula resum que et permetrà triar la distribució correcta d'un cop d'ull.

1. Distribució de Poisson: successos per unitat de temps o d'espai
2. Poisson com a límit de la binomial: el cas del frau
3. Distribució geomètrica: intents fins al primer èxit
4. Distribució hipergeomètrica: mostreig sense reemplaçament
5. Distribució uniforme contínua: la ignorància repartida
6. Distribució exponencial: el temps entre successos
7. Taula resum: quina plantilla fer servir en cada situació

La Poisson modela el nombre de successos que ocorren en un interval fix de temps (o d'espai), quan els successos ocorren de manera independent, a un ritme mitjà constant i d'un en un. Exemples NovaMarket: comandes en línia per hora, clients que arriben a una caixa en 10 minuts, incidències de repartiment per dia, errates per pàgina de catàleg.

El seu únic paràmetre és \( \lambda \) (lambda): el nombre mitjà de successos per interval. Si \( X \sim \text{Poisson}(\lambda) \):

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} , \lambda^k}{k!} \qquad k = 0, 1, 2, \dots \]

on \( e \approx 2{,}71828 \). Dos trets molt característics:

• \( X \) no té màxim: pot prendre qualsevol valor enter des de 0 en endavant (a diferència de la binomial, que s'atura a \( n \)).
• Mitjana i variància coincideixen: \( E(X) = \lambda \) i \( \operatorname{Var}(X) = \lambda \) (per tant \( \sigma = \sqrt{\lambda} \)). És una signatura útil: si a les teves dades de recomptes la variància és molt més gran que la mitjana, la Poisson probablement no encaixa.
• \( \lambda \) escala amb l'interval: si arriben 6 comandes per hora, en mitja hora \( \lambda = 3 \) i en un dia de 24 h, \( \lambda = 144 \).

Exemple treballat: incidències de repartiment. El servei e-commerce registra de mitjana \( \lambda = 3 \) incidències de repartiment al dia (adreces errònies, absències, trencaments), estables i independents entre si. L'equip d'atenció al client pot absorbir fins a 4 incidències diàries; amb 5 o més cal reforçar. Amb quina freqüència caldrà reforç?

Calculem la cua amb el complementari, terme a terme (amb \( e^{-3} \approx 0{,}0498 \)):

\[ P(X \geq 5) = 1 - 0{,}8153 = 0{,}1847 \]

Gairebé un de cada cinc dies caldrà reforçar, encara que la mitjana sigui només 3. De nou el missatge del Mòdul 4: el valor esperat no n'hi ha prou; la distribució completa diu amb quina freqüència arriben els dies dolents. (Fixa't també que el més probable no és un únic valor: \( k = 2 \) i \( k = 3 \) empaten — passa sempre que \( \lambda \) és enter.)

La Poisson no cau del cel: és la binomial portada a l'extrem de \( n \) gran i \( p \) petita. Quan hi ha moltíssims assaigs, cadascun amb una probabilitat minúscula d'èxit, la binomial \( B(n, p) \) s'aproxima molt bé per una Poisson amb \( \lambda = np \). Regla pràctica habitual: \( n \geq 100 \) i \( p \leq 0{,}05 \) (millor com més gran \( n \) i més petita \( p \)).

Comprovació amb el frau en línia. La prevalença de frau és \( p = 0{,}005 \). En un dia amb \( n = 400 \) comandes, el nombre de fraus és \( B(400;\ 0{,}005) \), amb \( \lambda = np = 2 \).

• Binomial exacta: \( P(X = 0) = 0{,}995^{400} \approx 0{,}1347 \).
• Poisson: \( P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}1353 \).

Diferència: 6 deumil·lèsimes. El guany és enorme en comoditat: res de \( \binom{400}{k} \); la Poisson respon amb \( e^{-2} \lambda^k / k! \). Per exemple, \( P(X \geq 4) = 1 - e^{-2}(1 + 2 + 2 + \tfrac{4}{3}) = 1 - 0{,}1353 \times 6{,}3333 \approx 1 - 0{,}8569 = 0{,}1431 \): un 14 % dels dies de 400 comandes portaran 4 o més intents de frau. Per això a la Poisson se l'anomena de vegades «la llei dels successos rars»: fraus, accidents, reclamacions, trencaments — individualment improbables, però amb moltíssimes ocasions d'ocórrer.

Canvi de pregunta: ja no comptem èxits en \( n \) assaigs, sinó quants assaigs calen fins al primer èxit. Si els assaigs són Bernoulli independents amb probabilitat \( p \), la variable \( X \) = «número de l'intent en què arriba el primer èxit» segueix una distribució geomètrica:

\[ P(X = k) = (1-p)^{k-1} , p \qquad k = 1, 2, 3, \dots \]

La lògica és pura regla del producte: \( k-1 \) fracassos seguits i després un èxit. La seva esperança és intuïtiva i potent:

\[ E(X) = \frac{1}{p} \]

Si l'èxit té probabilitat 1/8, en mitjana cal esperar 8 intents.

Exemple treballat: captació a botiga. NovaMarket instal·la un estand del Club Nova a Barcelona-Gràcia. L'experiència de campanyes anteriors diu que 1 de cada 8 clients abordats acaba fent-se soci (\( p = 0{,}125 \)).

• Intents esperats fins al primer soci: \( E(X) = 1/0{,}125 = 8 \) clients abordats.
• Probabilitat de captar-lo just al tercer intent: \( P(X = 3) = 0{,}875^2 \times 0{,}125 = 0{,}7656 \times 0{,}125 \approx 0{,}0957 \).
• Probabilitat de tenir el primer soci en els 5 primers contactes: el més còmode és el complementari, «que els 5 primers fallin»: \( P(X \leq 5) = 1 - 0{,}875^5 = 1 - 0{,}5129 = 0{,}4871 \).

La geomètrica té una propietat famosa: no té memòria. Si el promotor porta 10 fracassos seguits, la probabilitat que el pròxim client digui que sí continua sent 0,125: els fracassos previs no «acumulen» sort. És l'antídot formal contra la fal·làcia del jugador («ja em toca») que vam desmuntar al Mòdul 3.

A la lliçó anterior vam anunciar aquest model en llistar quan la binomial falla. La hipergeomètrica descriu el nombre d'èxits en extreure una mostra sense reemplaçament d'una població petita: cada extracció canvia la composició del lot, així que la \( p \) no és constant ni els assaigs independents.

Paràmetres: \( N \) = mida de la població, \( K \) = nombre d'«èxits» que conté, \( n \) = mida de la mostra extreta. La probabilitat de trobar exactament \( k \) èxits és un recompte de combinacions (enfocament clàssic de 03-01: casos favorables entre casos possibles):

\[ P(X = k) = \frac{\dbinom{K}{k} \dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}} \]

i la seva mitjana és la que dicta la intuïció: \( E(X) = n \cdot \dfrac{K}{N} \).

Exemple treballat: control de qualitat de fruita. Arriba a Madrid-Chamberí un palet amb \( N = 50 \) caixes de maduixes, de les quals — sense que ho sapiguem — \( K = 5 \) estan en mal estat. El protocol inspecciona \( n = 8 \) caixes a l'atzar i rebutja el palet si n'apareix alguna de defectuosa. Quina probabilitat hi ha que el palet passi el control tot i estar contaminat?

Passar el control és \( X = 0 \). En lloc de barallar-nos amb els combinatoris grans, encadenem probabilitats condicionades (regla del producte, Mòdul 3), que és equivalent i més transparent:

\[ P(X=0) = \frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48} \times \frac{42}{47} \times \frac{41}{46} \times \frac{40}{45} \times \frac{39}{44} \times \frac{38}{43} \approx 0{,}4015 \]

(cada factor és «la següent caixa inspeccionada també està bé», amb una caixa bona menys a cada pas). Així que \( P(\text{rebutjar}) = 1 - 0{,}4015 = 0{,}5985 \): el control només detecta aquest nivell de contaminació un 60 % de les vegades — dada clau per decidir si cal inspeccionar més caixes. El nombre esperat de defectuoses a la mostra és \( E(X) = 8 \times \frac{5}{50} = 0{,}8 \).

I la binomial? Amb \( p = 5/50 = 0{,}10 \) donaria \( P(X=0) = 0{,}9^8 \approx 0{,}4305 \) — semblant però no igual, perquè la mostra (8) és el 16 % del lot (50), per sobre del llindar del 10 % que vam donar com a regla pràctica. Amb poblacions grans (8 tiquets d'entre milers) totes dues coincideixen i fem servir la binomial per comoditat.

La uniforme contínua \( U(a, b) \) modela una variable contínua de la qual només sabem que cau a l'interval \( [a, b] \), sense zones més probables que altres: la seva densitat és un altiplà pla d'alçada \( 1/(b-a) \). És la més simple de les contínues i les probabilitats es calculen com a proporcions de longitud:

\[ P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a} \qquad E(X) = \frac{a+b}{2} \qquad \sigma = \frac{b-a}{\sqrt{12}} \]

Exemple NovaMarket. El client tria per a la seva comanda en línia una franja de lliurament de 2 hores (per exemple, 17.00–19.00), i dins de la franja el moment d'arribada del repartidor és, a efectes pràctics, uniforme: \( T \sim U(0, 120) \) minuts.

• Probabilitat que arribi en la primera mitja hora: \( \frac{30 - 0}{120} = 0{,}25 \).
• Espera esperada des de l'inici de la franja: \( E(T) = 60 \) minuts, amb \( \sigma = 120/\sqrt{12} \approx 34{,}6 \) min.
• Probabilitat que arribi entre les 18.30 i les 19.00: \( \frac{120 - 90}{120} = 0{,}25 \) — qualsevol tram de 30 minuts val el mateix: aquesta és la signatura de la uniforme.

El seu paper a la pràctica és doble: model honest quan de debò no hi ha informació direccional, i punt de partida de simulacions (els generadors de nombres aleatoris produeixen uniformes que després es transformen en qualsevol altra distribució).

Si els successos arriben segons un procés de Poisson amb ritme \( \lambda \) (per unitat de temps), el temps d'espera fins al pròxim succés segueix una distribució exponencial. Són les dues cares de la mateixa moneda: la Poisson compta quants en un interval; l'exponencial mesura quant triga el següent.

És contínua, només pren valors positius i la seva F.d.a. (la probabilitat acumulada que vam aprendre a llegir a 03-03) té fórmula tancada:

\[ F(t) = P(T \leq t) = 1 - e^{-\lambda t} \qquad E(T) = \frac{1}{\lambda} \qquad \sigma = \frac{1}{\lambda} \]

Exemple treballat: comandes en línia de matinada. A la franja nocturna, el web de NovaMarket rep comandes a un ritme mitjà de \( \lambda = 6 \) comandes/hora (una cada 10 minuts, de mitjana: \( E(T) = 1/6 \) h = 10 min).

• Probabilitat que la pròxima comanda arribi en 5 minuts o menys: amb \( t \) en hores, \( P(T \leq \tfrac{1}{12}) = 1 - e^{-6/12} = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}3935 \).
• Probabilitat de més de 20 minuts sense comandes: \( P(T > \tfrac{1}{3}) = e^{-6/3} = e^{-2} \approx 0{,}1353 \).

La densitat exponencial és fortament asimètrica a la dreta: moltíssimes esperes curtes i una cua d'esperes llargues — exactament la silueta que, a la lliçó anterior, feia fracassar la normal amb els temps de lliurament. A més, hereta de la geomètrica (la seva cosina discreta) la manca de memòria: si portes 10 minuts sense comandes, la probabilitat que la següent trigui més de 20 minuts més continua sent \( e^{-2} \); el sistema no «acumula» retard. Aquesta parella Poisson-exponencial és la base de la teoria de cues, amb la qual es dimensionen caixes, línies telefòniques i repartidors: quantes caixes obrir perquè l'espera mitjana no superi un llindar és, en el fons, un problema de \( \lambda \)s. Aquí en tenim prou de saber que aquesta porta existeix.

El mètode de l'analista, en tres preguntes: compto o mesuro? (discreta vs contínua); què compto/mesuro exactament? (èxits en \( n \) fixos → binomial; successos per interval → Poisson; intents fins a l'èxit → geomètrica; temps fins al succés → exponencial); es compleixen els supòsits? (independència, ritme o \( p \) constants, amb o sense reemplaçament).

• Confondre binomial i Poisson. La binomial té un \( n \) fix i conegut («de les 20 comandes d'avui…»); la Poisson no té sostre («les incidències que sorgeixin demà…»). Si no pots dir quants assaigs hi ha, no és binomial.
• Oblidar reescalar \( \lambda \) en canviar l'interval. Amb 6 comandes/hora, la Poisson d'un quart d'hora fa servir \( \lambda = 1{,}5 \), no 6. I a l'exponencial, \( \lambda \) i \( t \) han d'anar en la mateixa unitat de temps — barrejar «per hora» amb minuts és l'error de càlcul més repetit.
• Comptar malament la geomètrica. \( P(X = 3) \) és «èxit exactament al 3r» = \( q^2 p \), amb dos fracassos previs, no tres. I \( E(X) = 1/p \) compta intents totals, inclòs el de l'èxit.
• Fer servir la binomial on hi ha mostreig sense reemplaçament d'un lot petit. Si la mostra supera ~10 % de la població, la hipergeomètrica i la binomial divergeixen; fes servir la hipergeomètrica (o l'encadenat de condicionades, que és més transparent).
• Suposar uniformitat per mandra. «No en sé res» no sempre justifica la uniforme: les arribades de clients al llarg del dia tenen hores punta claríssimes. La uniforme és un model, no una excusa.
• Consell: memoritza la signatura de cada plantilla — Poisson: mitjana = variància; geomètrica i exponencial: sense memòria; uniforme: trams iguals, probabilitats iguals. Reconèixer la signatura a les dades reals és la meitat de la feina de modelatge.

Exercici 1. En hora punta, a la caixa ràpida de Madrid-Centro arriben de mitjana 4 clients cada 10 minuts, de manera independent i a ritme estable. (a) Justifica l'elecció del model i dona'n el paràmetre. (b) Calcula la probabilitat que en els pròxims 10 minuts no arribi ningú (\( e^{-4} \approx 0{,}0183 \)). (c) La caixera pot atendre fins a 5 clients en 10 minuts; calcula la probabilitat que es formi cua per excés d'arribades (6 o més).

Exercici 2. A l'estand del Club Nova (\( p = 0{,}125 \) per client abordat): (a) Quina és la probabilitat que el primer soci del dia arribi exactament amb el quart client abordat? (b) Quants clients cal esperar abordar per captar el primer? (c) El promotor porta 15 nos seguits i afirma: «el pròxim gairebé segur que cau, ja em toca». Valora-ho.

Exercici 3. De matinada, les comandes web arriben a ritme \( \lambda = 6 \)/hora. (a) Quina distribució segueix el temps fins a la pròxima comanda i quina és la seva mitjana en minuts? (b) Calcula \( P(T \leq 5 \text{ min}) \). (c) El tècnic de guàrdia vol aprofitar per fer una pausa de 20 minuts just després de despatxar una comanda. Probabilitat que no entri cap comanda durant la pausa? Resol-ho per dos camins: amb l'exponencial i amb la Poisson de l'interval.

Solució 1. (a) Recompte de successos en un interval fix, ritme mitjà estable, arribades independents i d'una en una: Poisson amb \( \lambda = 4 \) (per bloc de 10 min). (b) \( P(X=0) = e^{-4} \approx 0{,}0183 \). (c) \( P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5) \). Termes: 0,0183; 0,0733; 0,1465; 0,1954; 0,1954; 0,1563 → \( P(X \leq 5) \approx 0{,}7852 \), per tant \( P(X \geq 6) \approx 0{,}2148 \). Un de cada cinc blocs de 10 minuts desborda la caixera. Error freqüent: plantejar-ho com a binomial — no existeix un «nombre de clients candidats» fix.

Solució 2. (a) Geomètrica: \( P(X = 4) = 0{,}875^3 \times 0{,}125 = 0{,}6699 \times 0{,}125 \approx 0{,}0837 \). (b) \( E(X) = 1/0{,}125 = 8 \) clients. (c) Fals: per la manca de memòria de la geomètrica, després de 15 fracassos la probabilitat del següent continua sent 0,125. Els intents passats no carreguen el futur — és la fal·làcia del jugador. (Una altra cosa és que una ratxa llarguíssima conviti a qüestionar si \( p = 0{,}125 \) és correcte avui; contrastar-ho formalment és matèria del Mòdul 5.)

Solució 3. (a) Exponencial amb \( \lambda = 6 \)/h; \( E(T) = 1/6 \) h = 10 minuts. (b) \( P(T \leq 5 \text{ min}) = 1 - e^{-6 \times 5/60} = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}3935 \). (c) Camí exponencial: \( P(T > 20 \text{ min}) = e^{-6 \times 20/60} = e^{-2} \approx 0{,}1353 \). Camí Poisson: en 20 min, \( \lambda = 6 \times \tfrac{20}{60} = 2 \), i \( P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}1353 \). Tots dos coincideixen — són la mateixa moneda per les seves dues cares. Error freqüent: fer servir \( \lambda = 6 \) amb \( t = 20 \) sense passar a la mateixa unitat, obtenint l'absurd \( e^{-120} \).

La teva caixa d'eines és completa: Bernoulli i binomial per a èxits en assaigs comptats, Poisson per a successos per interval (i com a drecera de la binomial rara), geomètrica per al primer èxit, hipergeomètrica per al mostreig sense reemplaçament, uniforme per a la incertesa plana i exponencial per als temps d'espera — amb la normal regnant sobre les sumes de molts efectes. La taula resum és el teu mapa; els supòsits de cada plantilla, la teva brúixola. Queda la peça que ho uneix tot i que converteix aquest mòdul en l'avantsala de la inferència: per què la normal apareix fins i tot quan les dades de partida no són normals — com els imports de tiquet? I quina distribució segueix la mitjana d'una mostra, aquell nombre que fem servir des del Mòdul 1? La resposta és el resultat més important de tota l'estadística: el Teorema Central del Límit.