En tancar el Mòdul 3 va quedar plantada una idea decisiva: molts fenòmens d'atzar segueixen patrons tan repetits que no cal modelar-los des de zero, perquè existeixen plantilles amb nom i cognoms. Aquesta lliçó presenta la primera i la més natural per a NovaMarket: la distribució binomial, el model per comptar èxits en un nombre fix d'intents independents. Quants dels pròxims 10 tiquets es pagaran amb targeta? Quantes de les 20 comandes d'aquesta tarda arribaran fora de termini? Quants dels 380.000 cupons del Club Nova es bescanviaran? Les tres preguntes són, en el fons, la mateixa pregunta, i una única fórmula les respon totes. Aprendràs d'on surt aquesta fórmula, com aplicar-la pas a pas, quina mitjana i quina dispersió té el model, i — tan important com tot això — a reconèixer quan una situació no és binomial.

1. El maó bàsic: l'assaig de Bernoulli
2. Les quatre condicions del model binomial
3. La fórmula binomial i el nombre combinatori
4. Exemple complet: tiquets amb targeta a Madrid-Centro
5. Mitjana i variància d'una binomial
6. Exemple de negoci: lliuraments fora d'SLA
7. La forma de la distribució segons \( p \)
8. Quan NO és binomial

Un assaig de Bernoulli és l'experiment aleatori més simple possible: un amb només dos resultats, que per conveni anomenem «èxit» i «fracàs». A la lliçó anterior ja vam treballar amb variables d'aquesta mena sense posar-los nom: \( Y = 1 \) si el tiquet es paga amb targeta, \( Y = 0 \) si no.

• «Èxit» és una etiqueta tècnica, no un judici de valor: si estudiem lliuraments tardans, l'«èxit» pot ser precisament «arribar tard». Èxit = el succés que estem comptant.
• La probabilitat d'èxit es denota \( p \); la de fracàs, \( q = 1 - p \).

Una variable de Bernoulli \( Y \) té una taula de distribució mínima:

Aplicant les fórmules d'esperança i variància de la lliçó anterior: \( E(Y) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p \) i \( \operatorname{Var}(Y) = (0-p)^2(1-p) + (1-p)^2 p = p(1-p) \). Convé memoritzar-les totes dues: reapareixeran multiplicades per \( n \) d'aquí a un moment.

Exemples de Bernoulli a NovaMarket, amb les xifres que ja coneixem:

El model binomial neix de repetir un assaig de Bernoulli i comptar els èxits. Diem que \( X \) segueix una distribució binomial de paràmetres \( n \) i \( p \) — s'escriu \( X \sim B(n, p) \) — quan es compleixen aquestes quatre condicions:

1. Nombre fix d'assaigs: \( n \) està decidit per endavant (els pròxims 10 tiquets, les 20 comandes d'avui).
2. Dos resultats per assaig: cada assaig és un Bernoulli (èxit/fracàs).
3. Probabilitat constant: \( p \) és la mateixa en tots els assaigs.
4. Independència: el resultat d'un assaig no influeix en els altres (recorda la definició formal d'independència de la lliçó 03-02).

Si es compleixen totes quatre, la variable \( X \) = «nombre d'èxits en els \( n \) assaigs» pren valors a \( {0, 1, 2, \dots, n} \) i la seva f.m.p. té una fórmula tancada: no necessitem estimar la taula de distribució dada a dada, com vam fer amb les bosses reutilitzables, perquè la plantilla la genera sencera a partir de només dos nombres, \( n \) i \( p \). Aquest és exactament l'avantatge dels models de distribució que vam anunciar en tancar el Mòdul 3.

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} , p^k , (1-p)^{n-k} \qquad k = 0, 1, \dots, n \]

La fórmula té tres factors, i cadascun respon a una pregunta:

• \( p^k \): probabilitat que una seqüència concreta tingui èxit en \( k \) posicions determinades. Per la regla del producte per a successos independents (Mòdul 3), les probabilitats es multipliquen.
• \( (1-p)^{n-k} \): probabilitat de fracàs a les altres \( n-k \) posicions d'aquesta mateixa seqüència.
• \( \binom{n}{k} \): el nombre combinatori («\( n \) sobre \( k \)»), que compta quantes seqüències diferents contenen exactament \( k \) èxits. Com que totes aquestes seqüències són mútuament excloents i tenen la mateixa probabilitat, la regla de la suma ens diu que n'hi ha prou de multiplicar.

El nombre combinatori es calcula així:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! , (n-k)!} \]

on \( n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 \) (i per conveni \( 0! = 1 \)). Un mini-exemple per fixar la idea: de quantes maneres poden 2 de 3 tiquets ser amb targeta? Les seqüències possibles són TTx, TxT i xTT: tres. I, en efecte:

\[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2 \times 1} = 3 \]

Dues propietats que estalvien càlculs: \( \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \) (només hi ha una manera de fallar-ho tot o d'encertar-ho tot) i \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \) (triar quines \( k \) posicions són èxit equival a triar quines \( n-k \) són fracàs).

La Marta demana una anàlisi per dimensionar els datàfons: dels pròxims 10 tiquets d'una caixa de Madrid-Centro, quants es pagaran amb targeta? Sabem que el 61 % dels tiquets es paga amb targeta, i és raonable suposar que els clients decideixen amb independència els uns dels altres. Per tant:

\[ X = \text{«nre. de tiquets amb targeta dels pròxims 10»} \sim B(10;\ 0{,}61) \]

Pas a pas per a \( P(X = 6) \):

1. Nombre combinatori: \( \binom{10}{6} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5.040}{24} = 210 \).
2. Potència d'èxits: \( 0{,}61^6 \approx 0{,}05152 \).
3. Potència de fracassos: \( 0{,}39^4 \approx 0{,}02313 \).
4. Producte: \( P(X = 6) = 210 \times 0{,}05152 \times 0{,}02313 \approx 0{,}2503 \).

Hi ha un 25 % de probabilitat que exactament 6 dels 10 paguin amb targeta. Repetint el càlcul per a cada \( k \) s'obté la distribució completa:

(La suma és 1, com exigeix tota f.m.p.) Amb la taula, qualsevol pregunta es respon sumant, igual que a la lliçó anterior:

• «I si almenys 8 paguen amb targeta?»: \( P(X \geq 8) = 0{,}1312 + 0{,}0456 + 0{,}0071 = 0{,}1839 \).
• «I 4 o menys?»: \( P(X \leq 4) = 0{,}0001 + 0{,}0013 + 0{,}0090 + 0{,}0374 + 0{,}1023 = 0{,}1501 \).

Fixa't en un truc que farem servir constantment: per a «almenys un» gairebé sempre és més curt el complementari. \( P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}39^{10} \approx 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999 \).

Podríem calcular \( E(X) \) amb la taula anterior (sumar \( k \cdot P(X=k) \)), però la plantilla porta les fórmules de sèrie. Com que \( X \) és la suma de \( n \) Bernoullis independents, la seva esperança és \( n \) vegades la d'un Bernoulli, i el mateix passa amb la variància:

\[ E(X) = np \qquad \operatorname{Var}(X) = np(1-p) \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Per als 10 tiquets: \( E(X) = 10 \times 0{,}61 = 6{,}1 \) tiquets amb targeta, amb \( \sigma = \sqrt{10 \times 0{,}61 \times 0{,}39} = \sqrt{2{,}379} \approx 1{,}54 \). Lectura d'analista: «n'esperem uns 6 de cada 10, amb una fluctuació típica de ±1,5». Mira la taula i comprova que gairebé tota la probabilitat es concentra entre \( 6{,}1 - 2 \times 1{,}54 \approx 3 \) i \( 6{,}1 + 2 \times 1{,}54 \approx 9 \): en efecte, \( P(3 \leq X \leq 9) \approx 0{,}98 \).

Un detall útil de la fórmula de la variància: per a \( n \) fix, \( p(1-p) \) és màxim quan \( p = 0{,}5 \). La incertesa sobre el recompte és màxima quan l'èxit i el fracàs estan igualats, i mínima quan \( p \) s'acosta a 0 o a 1 (amb \( p = 0{,}005 \), com el frau, gairebé tots els recomptes seran 0).

Recordem l'SLA d'e-commerce: «el 90 % de les comandes en menys de 48 h». Al Mòdul 3 vam llegir sobre la F.d.a. dels temps de lliurament que \( F(48) = 0{,}899 \), així que la probabilitat que una comanda concreta arribi fora de termini és \( p \approx 0{,}10 \).

L'equip d'e-commerce despatxarà aquesta tarda 20 comandes a clients diferents, repartides entre transportistes com sempre. La Marta pregunta: «quina probabilitat hi ha que 3 o més arribin tard?» Modelem \( X \sim B(20;\ 0{,}10) \) i fem servir el complementari:

\[ P(X \geq 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) \]

1. \( P(X=0) = \binom{20}{0} , 0{,}1^0 , 0{,}9^{20} = 0{,}9^{20} \approx 0{,}1216 \)
2. \( P(X=1) = \binom{20}{1} , 0{,}1^1 , 0{,}9^{19} = 20 \times 0{,}1 \times 0{,}1351 \approx 0{,}2702 \)
3. \( P(X=2) = \binom{20}{2} , 0{,}1^2 , 0{,}9^{18} = 190 \times 0{,}01 \times 0{,}1501 \approx 0{,}2852 \)
4. \( P(X \geq 3) = 1 - (0{,}1216 + 0{,}2702 + 0{,}2852) = 1 - 0{,}6770 = 0{,}3230 \)

Gairebé un dia de cada tres, la tarda acabarà amb 3 o més lliuraments tardans — encara que el que s'espera sigui només \( E(X) = 20 \times 0{,}10 = 2 \). Aquest resultat és valuosíssim per gestionar expectatives: si la Marta rebés una queixa cada vegada que hi ha 3 retards en una tarda, la binomial li diu que això passarà sovint fins i tot si el procés funciona exactament segons el que s'ha previst. Distingir la fluctuació normal del deteriorament real del servei és, precisament, el cor del Mòdul 5.

Una matisació honesta del model: aquí tractem \( p = 0{,}10 \) com a constant, però sabem pel Mòdul 3 que la tardança depèn del transportista (LogiExpress 8 %, RápidoSur 15 %). Si les 20 comandes es reparteixen amb les proporcions habituals (70/30), la \( p \) global del 10 % és una mitjana ponderada vàlida i el model funciona bé; si un dia concret tot sortís amb RápidoSur, caldria fer servir \( B(20;\ 0{,}15) \). El model és una plantilla: cal omplir-la amb la \( p \) correcta per al context.

La binomial no sempre té la mateixa silueta. Amb les idees de forma del Mòdul 2 (simetria i asimetria d'un histograma):

I una observació que deixem sembrada: per a \( n \) gran, encara que \( p \) no sigui 0,5, la distribució es va tornant cada cop més simètrica i acampanada. Comprova-ho mentalment amb els cupons: \( B(380.000;\ 0{,}18) \) té \( E(X) = 68.400 \) bescanvis amb \( \sigma = \sqrt{380.000 \times 0{,}18 \times 0{,}82} \approx 237 \); ningú no calcularia \( \binom{380.000}{68.400} \) a mà. Aquesta campana que treu el cap té nom propi — la veurem a la lliçó següent — i el perquè de l'aproximació s'explica al Teorema Central del Límit.

Reconèixer quan la plantilla no encaixa és tan important com saber-la fer servir. Les tres fallades típiques ataquen les condicions 3 i 4:

• Mostreig sense reemplaçament en una població petita (fallen la independència i la \( p \) constant). Si en una caixa de 12 unitats de fruita n'hi ha 3 en mal estat i n'extrec 4 sense tornar-les, la probabilitat de treure'n una de defectuosa canvia amb cada extracció (3/12, després potser 2/11…). El model correcte és la hipergeomètrica, que veurem a 04-03. Regla pràctica: si la mostra és menys del 10 % de la població, la binomial és una aproximació excel·lent — per això tractar 10 tiquets d'entre els milers del dia com a independents és legítim.
• Probabilitat no constant entre assaigs. El 61 % de pagament amb targeta és una mitjana anual; un divendres a la tarda a Valencia-Ruzafa pot ser un 70 % i un dimarts al matí a Cuenca, un 50 %. Comptar «tiquets amb targeta d'una setmana sencera barrejant franges» amb una sola \( p \) pot esbiaixar els resultats si les franges pesen diferent cada dia.
• Dependència entre assaigs. Els clients no sempre decideixen sols: si cau el datàfon de la botiga, tots els tiquets següents passen a efectiu alhora; una família que compra junta genera tiquets correlacionats; en frau, els atacs arriben en ràfegues coordinades. Quan el resultat d'un assaig arrossega els altres, la binomial subestima la probabilitat de resultats extrems.

I un recordatori d'abast: la binomial compta èxits en un nre. fix d'assaigs. Si la pregunta és «quants intents fins al primer èxit?» o «quants successos per hora?», la plantilla és una altra (geomètrica i Poisson, totes dues a la pròxima lliçó sobre altres distribucions).

• Oblidar el nombre combinatori. \( p^k (1-p)^{n-k} \) és la probabilitat d'una seqüència concreta; sense el factor \( \binom{n}{k} \) el resultat queda absurdament petit. Si la teva probabilitat de «6 de 10 amb targeta» et surt 0,0012 en lloc de 0,25, gairebé segur que t'has deixat el 210.
• Confondre «almenys \( k \)» amb «exactament \( k \)». \( P(X \geq 3) \neq P(X = 3) \). Tradueix sempre la frase de negoci a desigualtat abans de calcular, i valora la drecera del complementari: per a «almenys un», \( 1 - P(X=0) \).
• Intercanviar èxit i fracàs a mig càlcul. Si has definit èxit = «arriba tard» amb \( p = 0{,}10 \), aleshores \( 0{,}9^{20} \) és la probabilitat que cap no arribi tard, no que tots arribin tard. Escriu la definició d'èxit en començar i no la canviïs.
• Aplicar la binomial a recomptes sense \( n \) fix. «Clients per hora a caixa» no té un nombre d'assaigs predeterminat: no és binomial (és Poisson, lliçó següent).
• Consell: comprova sempre l'ordre de magnitud amb \( E(X) = np \) abans de donar un resultat. Si esperes 2 retards de 20 comandes i el teu càlcul diu que el més probable són 9, alguna cosa falla.
• Consell: en informes per a direcció, acompanya el valor esperat amb \( \sigma \). «Esperem 2 retards, i fins a 4–5 entren dins la variació normal» evita alarmes injustificades.

Exercici 1. El 45 % dels tiquets de NovaMarket inclou producte fresc. Per a un test d'una promoció de fruita, s'observaran els pròxims 8 tiquets de Sevilla-Nervión. (a) Justifica que el model binomial és aplicable i identifica \( n \) i \( p \). (b) Calcula la probabilitat que exactament 4 tiquets incloguin fresc. (c) Calcula \( E(X) \) i \( \sigma \).

Exercici 2. La taxa anual de baixes del Club Nova és del 3 %. Un gestor de Cuenca té una cartera de 10 socis «premium» que atén personalment, i presumeix que aquest any no n'ha perdut cap. (a) Si els seus socis es comportessin com el soci mitjà (baixes independents, \( p = 0{,}03 \)), quina probabilitat hi havia d'acabar l'any sense cap baixa? (b) I de patir-ne almenys una? (c) A la vista de (a), el seu resultat demostra que gestiona millor que la mitjana?

Exercici 3. RápidoSur lliura tard el 15 % dels seus enviaments. Demà té assignades 12 comandes. (a) Calcula la probabilitat que com a màxim 1 arribi tard. (b) Calcula el nombre esperat de retards i la seva desviació típica. (c) La Marta proposa mesurar RápidoSur comptant els retards dels seus pròxims 12 enviaments al mateix edifici d'oficines amb la mateixa furgoneta. Quina condició del model binomial se'n ressent?

Solució 1. (a) Hi ha \( n = 8 \) assaigs fixats per endavant, cada tiquet inclou fresc o no (dos resultats), \( p = 0{,}45 \) és constant i els tiquets de clients diferents són raonablement independents: \( X \sim B(8;\ 0{,}45) \). (b) \( \binom{8}{4} = \frac{8!}{4! , 4!} = 70 \); \( 0{,}45^4 \approx 0{,}04101 \); \( 0{,}55^4 \approx 0{,}09151 \); \( P(X=4) = 70 \times 0{,}04101 \times 0{,}09151 \approx 0{,}2627 \). (c) \( E(X) = 8 \times 0{,}45 = 3{,}6 \) tiquets; \( \sigma = \sqrt{8 \times 0{,}45 \times 0{,}55} = \sqrt{1{,}98} \approx 1{,}41 \). Error freqüent: fer servir \( 0{,}45^4 \times 0{,}55^4 \) sense el 70 — donaria 0,0038, la probabilitat d'una única seqüència concreta.

Solució 2. (a) \( P(X = 0) = 0{,}97^{10} \approx 0{,}7374 \). (b) \( P(X \geq 1) = 1 - 0{,}7374 = 0{,}2626 \). (c) No: un gestor mitjà acabaria l'any sense baixes gairebé 3 de cada 4 vegades. El resultat és totalment compatible amb no ser millor que la mitjana. Error freqüent: interpretar un resultat bo però probable sota l'atzar com a prova de mèrit — la mateixa fal·làcia que la de la taxa base del cas de frau. Com decidir formalment si un resultat «demostra» alguna cosa és el tema de les proves d'hipòtesis del Mòdul 5.

Solució 3. (a) \( X \sim B(12;\ 0{,}15) \). \( P(X=0) = 0{,}85^{12} \approx 0{,}1422 \); \( P(X=1) = 12 \times 0{,}15 \times 0{,}85^{11} \approx 12 \times 0{,}15 \times 0{,}1673 \approx 0{,}3012 \); \( P(X \leq 1) \approx 0{,}4435 \). (b) \( E(X) = 12 \times 0{,}15 = 1{,}8 \); \( \sigma = \sqrt{12 \times 0{,}15 \times 0{,}85} = \sqrt{1{,}53} \approx 1{,}24 \). (c) La independència: si la furgoneta punxa o el repartidor es retarda, les 12 comandes arriben tard alhora. Amb assaigs dependents, la binomial subestima els escenaris extrems (0 retards o 12 retards serien molt més probables del que prediu el model).

La binomial és la teva primera plantilla: quan comptes èxits en \( n \) intents independents amb \( p \) constant, ja no necessites construir la taula de distribució a mà — la fórmula \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \) la genera sencera, i \( E(X) = np \) i \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \) resumeixen on està centrada i quant fluctua. Has vist també els seus límits: sense independència o amb \( p \) variable, la plantilla enganya. I ha quedat a la vista un fenomen curiós: en créixer \( n \), la silueta esglaonada de la binomial se suavitza fins a semblar una campana simètrica. Aquesta campana no és cap casualitat: és la distribució més important de tota l'estadística, la que ja vas intuir en mirar l'histograma de vendes diàries al Mòdul 2. Li posem nom, fórmula i taula a la lliçó següent: la Distribució Normal.