La distribució binomial és una de les distribucions de probabilitat discretes més importants en estadística. Es fa servir per modelar el nombre d'èxits en una seqüència de n experiments independents, on cada experiment té dues possibles resultats: èxit o fracàs.

1. Experiment de Bernoulli: Un experiment amb dos possibles resultats (èxit o fracàs).
2. Nombre d'assaigs (n): El nombre total d'experiments independents.
3. Probabilitat d'èxit (p): La probabilitat que un sol experiment resulti en èxit.
4. Variable aleatòria binomial (X): El nombre d'èxits en n assaigs.

La probabilitat de tenir exactament k èxits en n assaigs es calcula amb la següent fórmula:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

On:

• \(\binom{n}{k}\) és el coeficient binomial, que es calcula com \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
• \(p\) és la probabilitat d'èxit en un sol assaig.
• \(1-p\) és la probabilitat de fracàs en un sol assaig.

Suposem que estem llançant una moneda 10 vegades (n = 10) i volem saber la probabilitat d'obtenir exactament 6 cares (èxits), sabent que la probabilitat d'obtenir una cara en un sol llançament és 0.5 (p = 0.5).

\[ P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^{4} \]

Calculant el coeficient binomial:

\[ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = 210 \]

Així que:

\[ P(X = 6) = 210 \times (0.5)^6 \times (0.5)^4 \] \[ P(X = 6) = 210 \times (0.015625) \times (0.0625) \] \[ P(X = 6) = 210 \times 0.0009765625 \] \[ P(X = 6) \approx 0.205 \]

Per tant, la probabilitat d'obtenir exactament 6 cares en 10 llançaments és aproximadament 0.205.

Una bossa conté 5 boles vermelles i 5 boles blaves. Si es treuen 8 boles amb reemplaçament, quina és la probabilitat d'obtenir exactament 5 boles vermelles?

1. Nombre d'assaigs (n) = 8
2. Probabilitat d'èxit (p) = 0.5 (ja que hi ha igual nombre de boles vermelles i blaves)

\[ P(X = 5) = \binom{8}{5} (0.5)^5 (0.5)^3 \]

Calculant el coeficient binomial:

\[ \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!3!} = 56 \]

Així que:

\[ P(X = 5) = 56 \times (0.5)^5 \times (0.5)^3 \] \[ P(X = 5) = 56 \times (0.03125) \times (0.125) \] \[ P(X = 5) = 56 \times 0.00390625 \] \[ P(X = 5) \approx 0.21875 \]

Per tant, la probabilitat d'obtenir exactament 5 boles vermelles en 8 extraccions és aproximadament 0.21875.

En una fàbrica, la probabilitat que un producte sigui defectuós és de 0.02. Si es seleccionen 100 productes a l'atzar, quina és la probabilitat que exactament 3 productes siguin defectuosos?

1. Nombre d'assaigs (n) = 100
2. Probabilitat d'èxit (p) = 0.02

\[ P(X = 3) = \binom{100}{3} (0.02)^3 (0.98)^{97} \]

Calculant el coeficient binomial:

\[ \binom{100}{3} = \frac{100!}{3!97!} = 161700 \]

Així que:

\[ P(X = 3) = 161700 \times (0.02)^3 \times (0.98)^{97} \] \[ P(X = 3) = 161700 \times 0.000008 \times 0.132619557 \] \[ P(X = 3) \approx 0.171 \]

Per tant, la probabilitat que exactament 3 productes siguin defectuosos és aproximadament 0.171.

• La distribució binomial modela el nombre d'èxits en una sèrie d'assaigs independents amb dues possibles resultats.
• La fórmula de la distribució binomial és \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \].
• És important entendre els conceptes de nombre d'assaigs (n), probabilitat d'èxit (p) i variable aleatòria binomial (X).
• Els exercicis pràctics ajuden a consolidar la comprensió de la distribució binomial.

Amb aquesta base, estàs preparat per avançar cap a altres distribucions de probabilitat en el següent tema.