A la lliçó anterior vam estimar la despesa mitjana mensual dels socis del Club Nova (126,40 €, amb un error típic d'uns 5 €) i vam aprendre que una estimació puntual, per si sola, és una resposta incompleta. En aquesta lliçó la completem: construirem intervals de confiança, forquilles de valors que acompanyen l'estimació amb una garantia de fiabilitat mesurable. És probablement l'eina estadística més usada — i més mal interpretada — en informes d'empresa, així que dedicarem una atenció especial a què significa exactament «amb un 95 % de confiança». De passada, saldarem un deute que arrosseguem des del Mòdul 1: respondre amb rigor la pregunta del comitè de direcció sobre el 8,1 de satisfacció.

1. La idea: de l'estimació puntual a la forquilla
2. Què significa (i què no) «confiança del 95 %»
3. IC per a la mitjana amb σ coneguda: la fórmula z
4. IC per a la mitjana amb σ desconeguda: la fórmula t
5. IC per a una proporció
6. La resposta al comitè: satisfacció i pagament amb targeta
7. Què fa ample o estret un interval: el marge d'error
8. IC per a la diferència de dues mitjanes o dues proporcions

El raonament neix directament del Teorema Central del Límit. Sabem que la mitjana mostral es distribueix (aproximadament) com una normal centrada en \( \mu \) amb desviació \( \sigma/\sqrt{n} \). I per la regla 68-95-99,7 del Mòdul 4, el 95 % de les mitjanes mostrals cau a menys d'1,96 errors típics de \( \mu \).

Ara, el gir de l'ullera de llarga vista: si \( \bar{x} \) és a menys d'1,96 errors típics de \( \mu \) el 95 % de les vegades, aleshores l'interval \( \bar{x} \pm 1{,}96 \cdot ET \) atrapa \( \mu \) el 95 % de les vegades. Aquesta és tota la màgia:

\[ \text{IC} = \text{estimació puntual} \pm (\text{valor crític}) \times (\text{error típic}) \]

La meitat dreta de la fórmula, \( (\text{valor crític}) \times (\text{error típic}) \), té nom propi: marge d'error. És el «±» que veus a les enquestes electorals.

Els valors crítics de la normal ja els coneixes del Mòdul 4:

Aquest és el punt on més informes rellisquen, així que anem a poc a poc.

Interpretació correcta: la confiança és una propietat del mètode, no de l'interval concret. Si repetíssim el mostreig moltes vegades i construíssim un interval amb cada mostra, aproximadament el 95 % d'aquests intervals contindria el valor veritable de \( \mu \). El nostre interval concret és un d'aquesta col·lecció: o conté \( \mu \) o no el conté (no ho sabrem mai), però prové d'una fàbrica que encerta el 95 % de les vegades.

Interpretacions incorrectes (i freqüents):

La confusió de la tercera fila és la més perillosa a l'empresa: un IC estret no significa que els clients siguin homogenis, només que hem mesurat bé la mitjana.

Analogia útil: llançar ferradures a una estaca. L'estaca (\( \mu \)) està fixa; el que varia a cada llançament és la ferradura (l'interval). Un jugador «del 95 %» encercla l'estaca en 95 de cada 100 llançaments. Després d'un llançament concret, la ferradura envolta l'estaca o no — però confies en el jugador.

Quan (rarament) coneixem la desviació típica poblacional, l'interval al nivell de confiança \( 1-\alpha \) és:

\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Exemple NovaMarket. La botiga de Valencia-Ruzafa va reobrir després d'una reforma i la Marta vol estimar-ne la nova venda diària mitjana. Per l'històric de la cadena s'accepta que la variabilitat diària continua sent \( \sigma = 6.200 \) € (la mateixa de la N(43.983; 6.200) del Mòdul 4). En els primers \( n = 36 \) dies després de la reforma, la venda mitjana va ser \( \bar{x} = 45.750 \) €.

1. Error típic: \( 6.200/\sqrt{36} = 6.200/6 = 1.033{,}33 \) €.
2. Marge d'error al 95 %: \( 1{,}96 \times 1.033{,}33 = 2.025{,}3 \) €.
3. Interval: \( 45.750 \pm 2.025 \Rightarrow [43.725 ; ; 47.775] \) €.

Lectura de negoci: la venda mitjana diària postreforma és, amb un 95 % de confiança, entre 43.725 i 47.775 €. L'interval gairebé deixa fora la mitjana històrica de la cadena (43.983 €, arran del límit inferior), cosa que suggereix una millora — tot i que per afirmar-ho formalment necessitarem el contrast d'hipòtesis de la pròxima lliçó.

El cas realista: \( \sigma \) s'estima amb \( s \), i el valor crític surt de la taula t amb \( n-1 \) graus de llibertat (lliçó anterior):

\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2,,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Exemple 1: la despesa del Club Nova. Amb \( n = 60 \), \( \bar{x} = 126{,}40 \) €, \( s = 38{,}50 \) €:

1. Error típic: \( 38{,}50/\sqrt{60} \approx 4{,}97 \) €.
2. Valor crític: fila gl = 59, columna 0,025 → \( t = 2{,}001 \).
3. Marge d'error: \( 2{,}001 \times 4{,}97 \approx 9{,}94 \) €.
4. Interval al 95 %: \( 126{,}40 \pm 9{,}94 \Rightarrow [116{,}46 ; ; 136{,}34] \) €.

Informe per a la Marta: «la despesa mitjana mensual per soci és entre 116 € i 136 €, amb un 95 % de confiança». Observa que amb gl = 59 el valor t (2,001) gairebé no difereix del z (1,96): amb mostres grans, totes dues fórmules quasi coincideixen.

Exemple 2: on la t es nota — el pilot de Cuenca. Abans d'encarregar l'estudi gran, l'equip va fer un pilot amb només \( n = 12 \) socis de Cuenca: \( \bar{x} = 118{,}30 \) €, \( s = 41{,}20 \) €.

1. Error típic: \( 41{,}20/\sqrt{12} = 41{,}20/3{,}464 \approx 11{,}89 \) €.
2. Valor crític: \( t_{0{,}025,,11} = 2{,}201 \).
3. Marge d'error: \( 2{,}201 \times 11{,}89 \approx 26{,}17 \) €.
4. Interval: \( 118{,}30 \pm 26{,}17 \Rightarrow [92{,}13 ; ; 144{,}47] \) €.

Una forquilla de més de 52 € d'amplada: pràcticament inútil per decidir. És la il·lustració perfecta de per què els pilots minúsculs «no donen per a conclusions» — i de per què existeix el càlcul de mida mostral que veurem a la lliçó Errors, Potència i Mida Mostral.

Per a proporcions, amb mostres grans (regla del Mòdul 4: almenys 10 èxits i 10 fracassos), el TCL permet fer servir la normal:

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

Exemple: socis actius del Club Nova. Amb \( \hat{p} = 0{,}64 \) i \( n = 150 \) (ET = 0,0392, calculat a la lliçó anterior):

\[ 0{,}64 \pm 1{,}96 \times 0{,}0392 = 0{,}64 \pm 0{,}077 \Rightarrow [0{,}563 ; ; 0{,}717] \]

Entre el 56 % i el 72 % dels 380.000 socis està actiu, al 95 % de confiança. Fixa't com n'és, d'ample: amb proporcions, \( n = 150 \) dona poca precisió.

Ha arribat el moment de tancar la pregunta oberta des del Mòdul 1. El comitè va veure el 8,1 de satisfacció mitjana (640 respostes) i va preguntar: «aquest 8,1 és fiable, o amb una altra mostra sortiria una altra cosa?». Ja ho tenim tot:

Satisfacció mitjana. \( \bar{x} = 8{,}1 \), \( s = 1{,}6 \), \( n = 640 \), ET ≈ 0,063. Amb \( n \) tan gran, t i z coincideixen (1,96):

\[ 8{,}1 \pm 1{,}96 \times 0{,}063 = 8{,}1 \pm 0{,}13 \Rightarrow [7{,}97 ; ; 8{,}23] \]

El famós «balla ±0,13 al 95 %» del Mòdul 4, ara amb la seva forma definitiva. Frase per al comitè: «amb un 95 % de confiança, la satisfacció mitjana real dels nostres clients és entre 7,97 i 8,23; la xifra és sòlida». I una implicació pràctica immediata: si l'any que ve l'enquesta dona 8,2, no hi haurà motiu per celebrar-ho — és dins del ball natural del mostreig.

Pagament amb targeta. \( \hat{p} = 0{,}61 \), \( n = 200 \), ET = 0,0345:

\[ 0{,}61 \pm 1{,}96 \times 0{,}0345 = 0{,}61 \pm 0{,}068 \Rightarrow [0{,}542 ; ; 0{,}678] \]

Entre el 54,2 % i el 67,8 %. Forquilla notablement més ampla que la de satisfacció: 200 tiquets donen molta menys precisió que 640 enquestes — i les proporcions són, en general, cares d'estimar.

El marge d'error \( E = z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n} \) (o la seva versió t/proporció) depèn de tres palanques:

Sobre la segona fila, compara-ho en el cas de la despesa: al 99 % (\( t_{0{,}005,,59} \approx 2{,}662 \)) l'interval seria \( 126{,}40 \pm 13{,}23 = [113{,}17; 139{,}63] \), tres euros més ample per cada costat que el del 95 %. No existeix l'interval «100 % de confiança» útil: seria \( (-\infty, +\infty) \).

L'única palanca que l'analista controla de debò és \( n \). Aïllar el \( n \) necessari per a un marge d'error objectiu és exactament el que farem a la lliçó 05-04.

Moltes decisions no van d'un valor, sinó d'una comparació: botiga vs en línia?, Madrid vs Cuenca? La recepta és la mateixa — estimació ± crític × error típic — canviant dues peces: l'estimació és la diferència i l'error típic combina les dues mostres (les variàncies de mostres independents se sumen, com vam veure al Mòdul 3):

\[ (\bar{x}_1 - \bar{x}2) \pm z{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \qquad\quad (\hat{p}_1 - \hat{p}2) \pm z{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} \]

(Amb mostres grans fem servir z; amb mostres petites es fa servir la t, amb uns graus de llibertat que deixem per a cursos més avançats.)

Exemple: satisfacció botiga vs en línia. Desglossant les 640 respostes de l'enquesta: clients de botiga física, \( n_1 = 450 \), \( \bar{x}_1 = 8{,}3 \), \( s_1 = 1{,}5 \); clients en línia, \( n_2 = 190 \), \( \bar{x}_2 = 7{,}6 \), \( s_2 = 1{,}9 \).

1. Diferència estimada: \( 8{,}3 - 7{,}6 = 0{,}7 \) punts.
2. Error típic: \( \sqrt{\dfrac{1{,}5^2}{450} + \dfrac{1{,}9^2}{190}} = \sqrt{0{,}0050 + 0{,}0190} = \sqrt{0{,}0240} \approx 0{,}155 \).
3. IC al 95 %: \( 0{,}7 \pm 1{,}96 \times 0{,}155 = 0{,}7 \pm 0{,}30 \Rightarrow [0{,}40 ; ; 1{,}00] \).

La clau de lectura: conté el zero? Aquí no — tot l'interval és positiu. Amb un 95 % de confiança, la satisfacció a botiga supera la del canal en línia en entre 0,4 i 1 punt: la bretxa és real, no un miratge mostral. Si l'interval hagués estat, posem per cas, [−0,1; 0,5], no podríem descartar que les dues mitjanes fossin iguals. Aquest criteri del zero és el pont directe cap a la pròxima lliçó.

Exemple exprés amb proporcions. Pagament amb targeta a Madrid-Centro (\( \hat{p}_1 = 0{,}68 \), \( n_1 = 200 \)) davant de Cuenca (\( \hat{p}_2 = 0{,}49 \), \( n_2 = 200 \)): diferència 0,19; ET \( = \sqrt{0{,}68 \times 0{,}32/200 + 0{,}49 \times 0{,}51/200} = \sqrt{0{,}002338} \approx 0{,}048 \); IC 95 %: \( 0{,}19 \pm 0{,}095 \Rightarrow [0{,}095; 0{,}285] \). No conté el zero: a Madrid-Centro es paga amb targeta clarament més que a Cuenca (entre 9,5 i 28,5 punts més).

• «Hi ha un 95 % de probabilitat que μ sigui dins de l'interval». En rigor, la probabilitat del 95 % pertany al mètode, no a l'interval ja calculat. En un informe, digues «amb un 95 % de confiança» i, si et demanen explicar-ho, fes servir l'analogia de la ferradura.
• Confondre l'IC de la mitjana amb el rang dels individus. [116; 136] € acota la despesa mitjana, no la despesa de cada soci: la majoria de socis gasta fora d'aquesta forquilla. Són preguntes diferents amb amplades diferents.
• Fer servir z amb mostres petites i σ desconeguda. Amb el pilot de Cuenca (n = 12), fer servir 1,96 en lloc de 2,201 estrenyeria l'interval artificialment un 11 %: precisió fictícia.
• Ignorar la regla de validesa en proporcions. L'IC normal per a \( \hat{p} \) requereix almenys ~10 èxits i 10 fracassos. Amb 4 devolucions en 50 comandes, no el facis servir.
• Comparar dos grups mirant si els seus IC individuals se solapen. És un criteri massa conservador: dos IC es poden solapar una mica i, tot i això, la diferència ser significativa. El correcte és construir l'IC de la diferència i mirar si conté el zero.
• Oblidar que l'IC només cobreix l'error de mostreig. Si la mostra té biaix de selecció (Mòdul 1), l'interval estarà mal centrat per molt estret que sigui. La confiança estadística no arregla dades mal recollides.

Exercici 1. Construeix l'IC al 99 % per a la proporció de tiquets pagats amb targeta (\( \hat{p} = 0{,}61 \), \( n = 200 \), ET = 0,0345) i compara'l amb el del 95 % calculat a la lliçó. Què has guanyat i què has perdut en apujar la confiança?

Exercici 2. A l'enquesta de satisfacció, els 190 clients en línia van donar \( \bar{x} = 7{,}6 \) amb \( s = 1{,}9 \). Construeix l'IC al 95 % per a la satisfacció mitjana en línia (fes servir z, ja que n és gran) i interpreta el resultat en una frase per al comitè. Conté el 8 «objectiu corporatiu»?

Exercici 3. El responsable de logística resumeix així una anàlisi: «l'IC del 95 % per al temps mitjà de lliurament és [40,2; 43,8] hores, així que el 95 % de les comandes arriba en menys de 44 hores». Assenyala l'error i reescriu la conclusió correctament.

Solució 1. Marge: \( 2{,}576 \times 0{,}0345 \approx 0{,}089 \). IC 99 %: \( [0{,}521; 0{,}699] \), davant de \( [0{,}542; 0{,}678] \) al 95 %. Guanyes garantia (el mètode només fallarà 1 de cada 100 vegades) a canvi de 4,2 punts percentuals més d'amplada total. Error freqüent: fer servir 2,326 (que és el crític d'una cua a l'1 %, el z del P99); per a un IC al 99 % l'àrea es reparteix en dues cues de 0,005 i el crític és 2,576.

Solució 2. ET \( = 1{,}9/\sqrt{190} = 1{,}9/13{,}78 \approx 0{,}138 \). IC: \( 7{,}6 \pm 1{,}96 \times 0{,}138 = 7{,}6 \pm 0{,}27 \Rightarrow [7{,}33; 7{,}87] \). Frase: «amb un 95 % de confiança, la satisfacció mitjana del canal en línia és entre 7,3 i 7,9 punts: queda per sota de l'objectiu de 8, fins i tot en el seu extrem superior». No conté el 8, cosa que anticipa un problema real al canal en línia. Error freqüent: fer servir l'ET global de 0,063 (que correspon a les 640 respostes juntes) en lloc de l'ET del subgrup en línia.

Solució 3. L'error és interpretar l'IC de la mitjana com a cobertura de les comandes individuals (fila 3 de la nostra taula de males interpretacions). Els temps individuals es dispersen molt més que la mitjana mostral. Correcte: «amb un 95 % de confiança, el temps mitjà de lliurament és entre 40,2 i 43,8 hores». Per parlar del percentatge de comandes individuals per sota d'un llindar es fa servir la distribució de la variable (com vam fer amb F(48) = 0,899 al Mòdul 4), no l'IC de la mitjana.

Ja sabem convertir una estimació puntual en una forquilla honesta: estimació ± crític × error típic, amb z quan \( \sigma \) és coneguda o la mostra és gran, amb t quan s'estima amb \( s \), i amb la seva versió per a proporcions i per a diferències entre grups. Sabem què significa de debò la confiança del 95 %, quines tres palanques governen l'amplada de l'interval, i hem donat per fi al comitè la seva resposta: la satisfacció mitjana és a [7,97; 8,23] i el pagament amb targeta a [54,2 %; 67,8 %].

L'interval de la diferència botiga vs en línia ([0,40; 1,00], sense contenir el zero) ens ha deixat, a més, una conclusió incòmoda: el canal en línia ho fa pitjor. Però com es formalitza aquest tipus d'afirmació? Com es decideix, amb regles explícites i un risc d'error controlat, si «hi ha efecte» o «és soroll mostral»? Aquest és el terreny de les Proves d'Hipòtesis, la maquinària de decisió de l'estadística.