El mòdul anterior va acabar amb una promesa: deixar d'aprendre eines i començar a fer-les servir com es fan servir a la feina real — davant d'un cas complet, sense que ningú et xiuxiuegi quin mètode toca. Això és exactament aquesta lliçó. Acompanyaràs l'equip d'anàlisi de NovaMarket en quatre casos de negoci de cap a cap: un test A/B del web, la gestió de l'inventari amb demanda incerta, el control estadístic dels temps de lliurament i la mesura rigorosa d'una campanya de màrqueting. En cadascun recorreràs el cicle complet — pregunta, dades, mètode, resultat, decisió — reutilitzant pel seu nom les eines dels set mòduls anteriors. No hi ha teoria nova: hi ha ofici.

1. El cicle pregunta → dada → mètode → decisió
2. Cas 1: un test A/B complet al web de NovaMarket
3. Cas 2: inventari amb demanda incerta
4. Cas 3: control estadístic de processos als lliuraments
5. Cas 4: mesurar de debò una campanya de màrqueting
6. Síntesi: el mapa de mètodes de l'analista de negoci

Als mòduls 1 a 7 l'ordre era: «aquesta és l'eina, aquest és un exemple». A l'empresa l'ordre és l'invers, i saltar-se passos surt car:

1. Pregunta de negoci. Formulada en euros, clients o hores — mai en argot estadístic. «El nou checkout ven més?», no pas «és significativa la diferència de proporcions?».
2. Dades. Existeixen? Com es recullen? Aquí hi viuen els biaixos de Recollida de Dades i Mostreig: una dada còmoda però esbiaixada és pitjor que no tenir-ne cap.
3. Mètode. Es tria després de la pregunta i de les dades, no abans. La meitat del criteri professional és aquest aparellament.
4. Resultat. El nombre, amb la seva incertesa: un interval, un valor p, un error de previsió.
5. Decisió. Traduir el resultat a una acció amb el seu cost i el seu risc. Si l'anàlisi no canvia cap decisió possible, no calia fer-la.

Els quatre casos d'aquesta lliçó recorren el cicle sencer. Fixa't que la part «difícil» gairebé mai no és el càlcul: és plantejar bé els passos 1, 2 i 5.

L'equip d'e-commerce ha redissenyat el checkout: menys passos, pagament exprés per als socis del Club Nova. La pregunta de la Marta: el nou checkout augmenta prou la conversió com per justificar el canvi? La conversió actual (sessions que acaben en comanda) és del 3,2 %.

Un test A/B és exactament l'experiment aleatoritzat de Recollida de Dades i Mostreig: les sessions s'assignen a l'atzar a la versió A (actual) o B (nova), de manera que tots dos grups són comparables en tot llevat del checkout. Sense aleatorització, qualsevol diferència es podria deure al dia de la setmana, al dispositiu o al tipus de client.

Abans de llançar res, l'equip fixa tres coses (com mana Errors, Potència i Mida Mostral):

• Efecte mínim rellevant: +0,4 punts percentuals (del 3,2 % al 3,6 %). Per sota d'això, el canvi no compensa el cost de desenvolupament.
• Nivell de significació: \(\alpha = 0{,}05\) bilateral.
• Potència: 80 % (\(z_{\beta} = 0{,}84\)).

La mida per grup per comparar dues proporcions:

\[ n = \frac{(z_{\alpha/2} + z_{\beta})^2 ,[p_1(1-p_1) + p_2(1-p_2)]}{(p_2 - p_1)^2} = \frac{(1{,}96 + 0{,}84)^2 (0{,}032 \cdot 0{,}968 + 0{,}036 \cdot 0{,}964)}{0{,}004^2} \]

\[ n = \frac{7{,}84 \times 0{,}0657}{0{,}000016} \approx 32,200 \text{ sessions per grup} \]

El web rep unes 330.000 sessions setmanals. N'hi hauria prou d'assignar el 10 % del trànsit (un 5 % a cada branca) durant dues setmanes: \(330,000 \times 2 \times 0{,}05 = 33,000\) per grup. Es trien dues setmanes completes, no deu dies escadussers: la conversió té estacionalitat setmanal (lliçó de Sèries Temporals) i tallar a mig cicle esbiaixaria la comparació. Regla d'or addicional: la mida i la durada es fixen abans de començar, i no es mira el resultat cada dia per aturar «quan surti significatiu» — això infla l'error de tipus I, el p-hacking del qual ja et va avisar la lliçó de Proves d'Hipòtesis.

Al cap de dues setmanes:

Contrast de dues proporcions (\(H_0: p_A = p_B\)). Proporció combinada: \(\hat{p} = 2264/66,000 = 0{,}0343\).

\[ z = \frac{0{,}0366 - 0{,}0320}{\sqrt{0{,}0343 \cdot 0{,}9657 \left(\tfrac{1}{33,000} + \tfrac{1}{33,000}\right)}} = \frac{0{,}0046}{0{,}00142} \approx 3{,}25 \]

Valor p bilateral \(\approx 0{,}001 < 0{,}05\): es rebutja \(H_0\). I l'interval de confiança al 95 % per a la diferència (Intervals de Confiança):

\[ 0{,}0046 \pm 1{,}96 \times 0{,}00142 ;\Rightarrow; (+0{,}18 \text{ pp};; +0{,}74 \text{ pp}) \]

Que sigui significatiu no n'hi ha prou: cal traduir-ho a euros, la lliçó de la rellevància pràctica enfront de la significació estadística. Amb ~17 milions de sessions l'any i una comanda en línia mitjana de 52 €:

• Escenari central (+0,46 pp): unes 78.000 comandes més l'any, ~4 M€ de facturació addicional.
• Escenari prudent (el límit inferior de l'IC, +0,18 pp): ~30.600 comandes, ~1,6 M€.

Fins i tot el pitjor cas plausible supera de llarg el cost del desenvolupament. Decisió: desplegar el checkout B al 100 % del trànsit, mantenint el monitoratge unes quantes setmanes per si l'efecte es degradés (efecte novetat enfront de millora real).

Cada trencament d'estoc és una venda perduda i un client irritat; cada excés és capital immobilitzat i, en productes frescos, minva. La pregunta: quant estoc cal tenir per cobrir la demanda el 95 % de les vegades, sense acumular-ne de més? La demanda és una variable aleatòria, així que la resposta és un percentil, no una mitjana.

La llet fresca a Madrid-Centro ven una mitjana de 180 unitats/dia amb desviació típica 35, i l'histograma és raonablement simètric: el model normal hi encaixa. El proveïdor triga 4 dies a servir, així que el que importa és la demanda durant aquests 4 dies. Sumant 4 dies independents:

\[ \mu_L = 4 \times 180 = 720 \qquad \sigma_L = 35\sqrt{4} = 70 \]

(la desviació creix amb \(\sqrt{n}\), no amb \(n\) — la mateixa arrel del Teorema Central del Límit). Per a un nivell de servei del 95 % es llança la comanda quan l'estoc baixa al percentil 95 d'aquesta demanda:

\[ \text{Punt de comanda} = \mu_L + z_{0{,}95},\sigma_L = 720 + 1{,}645 \times 70 \approx 836 \text{ unitats} \]

Les \(1{,}645 \times 70 \approx 116\) unitats per sobre de la mitjana són l'estoc de seguretat: el preu de la incertesa. La taula mostra quant costa cada punt extra de servei:

Passar del 95 % al 99 % costa 47 unitats més en un sol article d'una sola botiga: el nivell de servei és una decisió econòmica, no un dogma. Per això NovaMarket fixa el 99 % en bàsics d'imatge (llet, pa) i el 90 % en articles substituïbles.

El robot de cuina prèmium ven a Cuenca una mitjana de \(\lambda = 0{,}7\) unitats per setmana, amb reposició setmanal. Amb recomptes tan baixos la normal és un mal model (permetria demanda negativa!); el model correcte és Poisson. Acumulant probabilitats:

Amb 2 unitats a la botiga es cobreix el 96,6 % de les setmanes; amb 1, només el 84,4 %. Decisió: estoc de 2. Fixa't com hauria estat d'enganyosa l'aproximació normal (\(0{,}7 + 1{,}645\sqrt{0{,}7} \approx 2{,}1\), gairebé el mateix aquí, però amb \(\lambda\) encara més petites divergeix) i, sobretot, com n'és de discreta la decisió: no existeixen 1,4 robots de cuina.

Ja saps pel mòdul 7 que els lliuraments en línia tenen mediana 25,5 h i un 13 % fora d'SLA. Logística no vol només la foto: vol una alarma que soni quan el procés empitjori, sense que soni amb cada fluctuació normal. Aquesta és la idea del gràfic de control, inventat per Shewhart: separar les causes comunes de variació (el soroll inherent al procés) de les causes especials (alguna cosa ha canviat i cal investigar-la).

Amb el procés estable, el temps de lliurament de LogiExpress té mitjana \(\mu = 26{,}5\) h i desviació \(\sigma = 6{,}0\) h. Cada dia es pren el temps mitjà d'una mostra de \(n = 36\) lliuraments. Pel Teorema Central del Límit, aquesta mitjana diària fluctua amb

\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{6{,}0}{\sqrt{36}} = 1{,}0 \text{ h} \]

Els límits de control se situen a \(\pm 3\sigma_{\bar{x}}\) de la línia central — tan lluny que, si el procés no ha canviat, només el 0,27 % dels punts els creuarà per atzar (regla 68-95-99,7 de la normal):

\[ LCI = 26{,}5 - 3 \times 1{,}0 = 23{,}5 \text{ h} \qquad LCS = 26{,}5 + 3 \times 1{,}0 = 29{,}5 \text{ h} \]

És, en el fons, una prova d'hipòtesis repetida cada dia amb \(\alpha \approx 0{,}0027\): tan exigent precisament perquè es contrasta diàriament i les falses alarmes cremen l'equip.

Mitjanes diàries (h): 26,1; 27,3; 25,8; 26,9; 27,8; 28,2; 28,6; 28,9; 29,1; 30,2.

• Dies 1–4: fluctuació normal al voltant de 26,5. No tocar res.
• Dies 5–9: tots per sobre de la línia central i en pujada sostinguda — una ratxa així ja és sospitosa encara que cap punt no creui el límit (les regles complementàries tipus Western Electric assenyalen 8 punts consecutius al mateix costat, o tendències sostingudes).
• Dia 10: 30,2 > 29,5. Senyal inequívoc de causa especial.

Investigació: LogiExpress ha reorganitzat el seu hub de Zaragoza i les rutes del nord surten amb 4 h de retard. Decisió: reunió amb el transportista amb el gràfic sobre la taula, i pla de contingència amb RápidoSur per a les rutes afectades.

Dues advertències de manual: primera, no sobreajustar — reaccionar a cada punt individual dins dels límits («ahir 27,3, feu alguna cosa!») afegeix variabilitat en lloc de treure'n; segona, el gràfic vigila l'estabilitat, no la qualitat: un procés pot estar perfectament sota control estadístic i tot i així incomplir l'SLA — això s'arregla redissenyant el procés, no vigilant-lo.

Màrqueting envia un cupó de 5 € — el mateix del qual vas estimar a priori el valor esperat en +0,36 €/cupó — al segment «Compra de conveniència» (despesa mitjana 96 €/mes). Després de la campanya arriba la primera anàlisi triomfal: «els socis que van bescanviar el cupó han gastat 158 € aquest mes, davant dels 118 € dels qui no el van bescanviar: +40 € gràcies a la campanya!».

És la trampa clàssica del biaix de selecció: qui bescanvia un cupó ja era, d'entrada, un comprador més intens. Comparar els qui bescanvien amb els qui no ho fan no mesura la campanya; mesura qui és qui. L'única comparació neta és contra un grup de control aleatori que no va rebre el cupó: la incrementalitat.

Reprenent el dimensionament fet amb l'efecte mínim rellevant a Errors, Potència i Mida Mostral (~7.250 per grup per detectar +1 €), se seleccionen a l'atzar 15.000 socis del segment: 7.500 reben el cupó i 7.500, triats igualment a l'atzar, no reben res. Despesa en els 30 dies següents:

Amb \(s \approx 21{,}50\) € en tots dos grups, la prova t de dues mostres:

\[ EE = 21{,}50\sqrt{\tfrac{2}{7500}} = 0{,}35 \qquad t = \frac{2{,}90}{0{,}35} \approx 8{,}3 \qquad p < 0{,}001 \]

Incrementalitat: +2,90 €/soci, amb IC al 95 % de \((2{,}21;; 3{,}59)\) €. Tot el que va gastar el grup de control (96 €) hauria passat igualment sense campanya: aquests 2,90 € són l'única cosa que la campanya ha causat.

• Marge brut del segment ≈ 35 % → marge incremental: \(2{,}90 \times 0{,}35 \approx 1{,}02\) €/soci.
• Van bescanviar el cupó el 14 % → cost: \(5 \times 0{,}14 = 0{,}70\) €/soci.
• Benefici net: ≈ +0,32 €/soci contactat — notablement a prop del +0,36 € que va predir el càlcul de valor esperat del Mòdul 3. La teoria i l'experiment es donen la mà.

Decisió: estendre la campanya als ~155.800 socis del segment (+~50.000 € nets per onada), però amb matisos que l'IC obliga a mirar: al límit inferior (+2,21 €) el net queda en +0,07 €/soci, gairebé taules. Recomanació de l'equip a la Marta: desplegar, monitorar el bescanvi real (si puja del 14 %, es menja el marge) i provar a la següent onada un cupó condicionat a una compra mínima.

El patró dels quatre casos és sempre el mateix cicle, amb una eina diferent al pas 3:

Fixa't en l'última columna: res d'aquesta lliçó no era nou. El que és nou és el criteri per aparellar pregunta i mètode, i la disciplina de tancar sempre amb una decisió en euros.

• Aturar el test A/B «quan surt significatiu». Mirar el valor p cada dia i aturar quan creua 0,05 multiplica les falses victòries. Mida i durada es fixen abans; s'analitza al final.
• Confondre significatiu amb rendible. Amb 33.000 sessions per grup, diferències irrellevants surten significatives. La decisió es pren amb l'IC traduït a euros, no amb l'asterisc del valor p.
• Dimensionar l'estoc amb la mitjana. Estoc = demanda mitjana garanteix trencament d'estoc la meitat de les vegades. El nivell de servei és un percentil; l'estoc de seguretat, el preu de la variància.
• Fer servir la normal per a recomptes petits. Amb \(\lambda < 5\) vendes per període, Poisson; la normal reparteix probabilitat en valors negatius i enganya a les cues.
• Reaccionar a punts dins dels límits de control. Ajustar el procés amb cada fluctuació comuna (tampering) empitjora la variabilitat. Només els senyals justifiquen intervenir.
• Mesurar campanyes sense grup de control. L'abans/després (contaminat per l'estacionalitat) i la comparació entre qui bescanvia i qui no (biaix de selecció) inflen sistemàticament l'efecte. Sense control aleatori no hi ha incrementalitat.

Màrqueting vol provar un nou assumpte de correu electrònic per pujar la taxa d'obertura del 22 % al 24 %. Calcula la mida per grup amb \(\alpha = 0{,}05\) bilateral i potència 80 % (\(z_{\alpha/2}=1{,}96\), \(z_\beta=0{,}84\)).

Un article ven a Cuenca \(\lambda = 1{,}2\) unitats/setmana (Poisson, reposició setmanal). Quin estoc cobreix almenys el 95 % de les setmanes? (Ajuda: \(e^{-1{,}2} = 0{,}3012\).)

El tiquet mitjà diari de Sevilla-Nervión es vigila amb mostres de \(n = 100\) tiquets; el procés estable té \(\mu = 32{,}40\) € i \(\sigma = 21{,}50\) €. Calcula els límits de control \(\pm 3\sigma\) de la mitjana mostral i digues si són senyal: (a) \(\bar{x} = 36{,}10\) €; (b) \(\bar{x} = 39{,}20\) €.

Exercici 1.

\[ n = \frac{7{,}84,(0{,}22 \cdot 0{,}78 + 0{,}24 \cdot 0{,}76)}{0{,}02^2} = \frac{7{,}84 \times 0{,}3540}{0{,}0004} \approx 6,940 \text{ per grup} \]

Uns 6.950 correus per branca (14.000 en total). Error freqüent: fer servir 0,02 sense elevar-lo al quadrat, o barrejar punts percentuals (2) amb proporcions (0,02) — l'efecte del denominador va en proporcions.

Exercici 2.

\(P(0)=0{,}3012\); \(P(1)=0{,}3614\) (acum. 0,6626); \(P(2)=0{,}2169\) (0,8795); \(P(3)=0{,}0867\) (0,9662). Amb 3 unitats es cobreix el 96,6 % de les setmanes; amb 2, només el 88,0 %. Consell: en Poisson l'estoc sempre s'obté acumulant fins a creuar el nivell objectiu — no hi ha fórmula de percentil tancada, i arrodonir «cap avall» incompleix el servei promès.

Exercici 3.

\(\sigma_{\bar{x}} = 21{,}50/\sqrt{100} = 2{,}15\). Límits: \(32{,}40 \pm 3 \times 2{,}15 = (25{,}95;; 38{,}85)\). (a) 36,10 és dins: variació comuna, no intervenir (tot i que si s'acumulen uns quants dies seguits per sobre de 32,40, les regles de ratxes sí que avisarien). (b) 39,20 > 38,85: senyal — investigar (promoció especial?, error de caixa?, canvi de mix?). Error freqüent: fer servir \(\sigma = 21{,}50\) en lloc de \(\sigma/\sqrt{n}\); els límits sortirien absurdament amples i el gràfic no avisaria mai.

Has tancat quatre casos d'empresa complets amb eines que ja tenies: el test A/B que va aprovar el nou checkout (contrast de proporcions amb mida mostral prefixada i decisió en euros), l'estoc de seguretat com a percentil de la normal i de Poisson, el gràfic de control que va caçar el problema del hub de Zaragoza, i la incrementalitat del cupó que va desemmascarar l'anàlisi ingènua dels bescanvis — confirmant de passada, amb +0,32 € mesurats davant de +0,36 € previstos, el càlcul de valor esperat del Mòdul 3. El fil comú: l'estadística de negoci no s'acaba en el valor p, s'acaba en una decisió amb cost i risc.

Però no tots els encàrrecs que rep l'equip miren cap endins de NovaMarket. El següent arriba de fora: una associació sectorial vol estudiar els hàbits de consum de tot el país, i això significa enquestes a gran escala, grups socials, escales d'opinió i les trampes particulars de mesurar la societat — l'Estadística a les Ciències Socials.