En la regressió del Mòdul 6 vam predir les vendes d'una botiga a partir d'una sola variable: la seva superfície. Va funcionar bé (R² = 0,865), però va deixar preguntes obertes — Cuenca ven uns 10.200 €/dia menys del que la seva superfície prediu, i sospitem que la culpa no és dels metres quadrats sinó del carrer on és. Al món real gairebé cap fenomen de negoci no depèn d'una única variable: les vendes depenen de la superfície i del trànsit de vianants i de la renda de la zona; la baixa d'un soci depèn de la seva edat i de la seva despesa i de la seva activitat. L'anàlisi multivariant és la caixa d'eines per treballar amb diverses variables alhora. En aquesta lliçó aprendràs regressió múltiple (l'extensió natural del que ja saps), regressió logística (quan el que predius és un sí/no) i, de manera conceptual, dues tècniques d'exploració: components principals i clustering. L'èmfasi és interpretatiu: aquests models els calcularà sempre el programari; la teva feina com a analista és saber llegir-los i explicar-los a la Marta.

1. D'una a diverses variables: el model de regressió múltiple
2. Llegir els coeficients: la clàusula «a igualtat de la resta»
3. Interpretar la sortida del programari columna a columna
4. R² ajustat: per què el R² sempre puja
5. Multicol·linealitat: quan els predictors es trepitgen
6. Variables fictícies (dummy) i interaccions
7. Regressió logística: predir un sí/no (la baixa del Club Nova)
8. Anàlisi de components principals: resumir moltes variables en poques
9. Clustering (k-means): segmentar els socis

La regressió lineal múltiple generalitza la recta de mínims quadrats a \(k\) predictors:

\[ \hat{y} = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \dots + b_k x_k \]

Ja no és una recta sinó un «pla» (o hiperplà) ajustat a les dades, però el criteri d'ajust és el mateix — minimitzar la suma de residus al quadrat — i tota la maquinària d'inferència (errors típics, contrastos t, valors p, R²) funciona igual que a 06-02, només que ara hi ha un coeficient per variable.

El cas NovaMarket. L'equip d'expansió amplia el model de vendes amb dues variables noves mesurades a les 42 botigues:

• \(x_1\): superfície de sala de vendes (m²)
• \(x_2\): trànsit de vianants del carrer (milers de vianants/dia)
• \(x_3\): renda mitjana de la zona (milers de €/any per capita)

La variable resposta continua sent la venda diària en milers de € (recorda: mitjana 43.983 € ≈ 44,0 milers).

El model ajustat resulta:

\[ \hat{y} = -4{,}10 + 0{,}0312,x_1 + 0{,}85,x_2 + 0{,}42,x_3 \]

Cada coeficient es llegeix amb una clàusula obligatòria: «a igualtat de la resta de variables» (els economistes en diuen ceteris paribus):

• \(b_1 = 0{,}0312\): entre dues botigues amb el mateix trànsit i la mateixa renda, cada m² addicional s'associa amb 31,2 € més de venda diària.
• \(b_2 = 0{,}85\): a igual superfície i renda, cada miler de vianants diaris addicional s'associa amb 850 € més de venda diària.
• \(b_3 = 0{,}42\): a igual superfície i trànsit, cada miler d'euros més de renda per capita a la zona s'associa amb 420 € més de venda diària.

Fixa't en un detall important: en la regressió simple el pendent de la superfície era 0,0377 (37,7 €/m²); ara és 0,0312. S'ha «encongit» l'efecte? No exactament: en el model simple, la superfície s'enduia el mèrit de tot allò que viatja amb ella — les botigues grans de NovaMarket solen estar, a més, en carrers concorreguts. En incloure el trànsit com a variable pròpia, cada coeficient reflecteix només la seva contribució neta. Aquesta és la gran virtut de la regressió múltiple: separa efectes que en l'anàlisi de dues variables venien barrejats (el fenomen de confusió que ja va treure el cap quan vam advertir que correlació no és causalitat).

I resol el misteri pendent: posant-hi les dades de Cuenca (trànsit de vianants molt baix per a la seva superfície), el seu residu passa de −10,2 milers de € en el model simple a −1,8 en el múltiple. Cuenca no era una botiga mal gestionada: era una botiga gran en un carrer buit.

Així presenta un programari estadístic típic l'ajust (n = 42 botigues):

R² = 0,912 · R² ajustat = 0,905 · n = 42

Columna a columna, amb el que ja saps dels Mòduls 5 i 6:

• Coeficient: l'estimació puntual de l'efecte net, en unitats de la resposta per unitat del predictor.
• Error típic (ET): la incertesa d'aquesta estimació; amb ell es construeix l'IC al 95 % (≈ coeficient ± 2·ET). Per a la superfície: \(0{,}0312 \pm 2 \times 0{,}0031 \Rightarrow (0{,}025;, 0{,}037)\).
• t: l'estadístic de contrast \(t = \text{coeficient} / ET\) per a la hipòtesi nul·la «aquest coeficient és 0 (la variable no aporta res, atès que les altres són al model)». Per al trànsit: \(0{,}85/0{,}24 = 3{,}54\).
• valor p: la probabilitat d'una t així d'extrema si la variable no aportés res. Superfície i trànsit són clarament significatius; la renda no (p = 0,238): un cop coneguts superfície i trànsit, saber la renda del barri amb prou feines millora la predicció. Un model final raonable l'exclouria.

L'incís en cursiva del contrast t importa: el valor p de cada variable és condicional a la resta del model. Treure o afegir una variable pot canviar els valors p de les altres.

El R² del model múltiple és 0,912, davant del 0,865 del model només amb superfície. Prova això que el model és millor? Compte: el R² mai no baixa en afegir variables, encara que siguin soroll pur. Si hi afegissis «nombre de lletres del nom de la botiga», el R² pujaria alguna dècima de punt percentual, perquè mínims quadrats sempre troba una mica de covariació casual per esprémer.

El R² ajustat corregeix això penalitzant cada variable addicional:

\[ R^2_{aj} = 1 - (1 - R^2),\frac{n-1}{n-k-1} \]

on \(n\) és el nombre d'observacions i \(k\) el de predictors. Només puja si la variable nova aporta més del que «costa». Regles pràctiques:

• Per comparar models amb un nombre diferent de variables, fes servir sempre el R² ajustat (aquí: 0,905 amb tres variables davant del 0,862 del model simple — la millora és real).
• Si en afegir una variable el R² puja però el R² ajustat baixa, la variable probablement sobra. És el que passa amb la renda: sense ella, el R² ajustat amb prou feines canvia.
• Un model amb moltes variables i poques dades pot «memoritzar» la mostra (sobreajust) i predir malament botigues noves — la versió multivariant d'un perill que ja coneixes de l'extrapolació.

La regressió múltiple reparteix el mèrit entre predictors. I si dos predictors són gairebé la mateixa informació? Per exemple, si afegíssim al model «superfície total del local» a més de «superfície de sala de vendes» (correlació entre totes dues: 0,98). Això és la multicol·linealitat, i els seus símptomes són recognoscibles:

• El R² del model és alt, però cap coeficient individual no surt significatiu: el mèrit conjunt és clar, però el repartiment entre variables bessones és impossible de precisar.
• Els errors típics s'inflen i els coeficients es tornen inestables: canvien molt (fins i tot de signe) en afegir o treure unes quantes observacions.
• Coeficients amb signes absurds («més superfície, menys vendes») compensats per la variable bessona.

La intuïció: preguntar a les dades «quant ven de més una botiga amb més sala de vendes a igualtat de superfície total?» és una pregunta que la mostra amb prou feines pot respondre, perquè gairebé no hi ha botigues on totes dues difereixin. El diagnòstic estàndard és el VIF (factor d'inflació de la variància): mesura quantes vegades s'infla la variància de cada coeficient per culpa de la seva correlació amb els altres predictors; com a orientació, VIF > 5 demana revisió i VIF > 10 indica un problema seriós. En el nostre model: superfície 1,9, trànsit 2,1, renda 1,3 — correlacions moderades, cap problema. La solució habitual quan n'hi ha: quedar-se amb una de les variables bessones (la més interpretable o barata de mesurar), o combinar-les — cosa que l'anàlisi de components principals de l'apartat 8 fa de manera sistemàtica.

Com fica un a l'equació una variable com el format (Express / Estàndard / Gran Superfície), que no és un nombre? Amb variables fictícies (dummy) (indicadores): variables 0/1 que marquen la pertinença a cada categoria, deixant-ne una com a categoria de referència. Amb Express de referència:

Un model de satisfacció de botiga amb aquestes variables fictícies:

\[ \widehat{satisf} = 7{,}0 + 1{,}0,D_{Est} + 2{,}0,D_{GS} \]

es llegeix així: la constant (7,0) és la mitjana de la categoria de referència (Express); cada coeficient dummy és la diferència respecte a la referència (Estàndard: 7,0 + 1,0 = 8,0; Gran Superfície: 7,0 + 2,0 = 9,0 — exactament les mitjanes de l'ANOVA de 06-03, que aquí reapareixen com a cas particular de regressió). Regla mecànica: una categòrica de \(c\) nivells entra amb \(c-1\) variables fictícies; incloure-hi les \(c\) seria redundant (multicol·linealitat perfecta).

De vegades l'efecte d'una variable depèn del valor d'una altra: potser cada miler de vianants extra val més en una botiga Express (compra de pas) que en una Gran Superfície (destinació planificada). Això es modela afegint el producte de totes dues variables (\(x_2 \times D_{GS}\)) com a predictor addicional; si el seu coeficient és significatiu, el pendent del trànsit és diferent per format. Queda't amb la idea i amb l'advertiment: amb interaccions, els coeficients individuals ja no es llegeixen aïllats, i convé recolzar-se en gràfics de prediccions.

La Marta planteja el problema estrella de l'any: predir quins socis del Club Nova es donaran de baixa (la taxa anual mostral és del 14 %, concentrada en menors de 35). La resposta és binària (baixa: sí/no), i la regressió lineal no serveix: prediria «probabilitats» menors que 0 o majors que 1.

La regressió logística modela la probabilitat a través dels odds (la raó probabilitat a favor / en contra, \(p/(1-p)\), que ja vam fer servir en probabilitat: p = 0,14 són uns odds de 0,163, «1 baixa per cada 6,1 que es queden»). El model és lineal en el logaritme dels odds:

\[ \ln!\left(\frac{p}{1-p}\right) = b_0 + b_1 x_1 + \dots + b_k x_k \]

Ajustat sobre una mostra de socis (variables: edat en anys, despesa mensual en €, activitat — la variable fictícia «soci actiu», recorda que són el 64 %):

Com es llegeix, sense necessitat de saber com s'estima (el programari ho fa amb un mètode anomenat màxima versemblança, que no cal que dominis):

• El signe és el primer: coeficient negatiu = aquella variable redueix la probabilitat de baixa. Més edat, més despesa i estar actiu protegeixen — coherent amb el fet que la baixa es concentri en joves.
• La magnitud s'interpreta via \(e^{coef}\), l'odds ratio: per cada any més d'edat, els odds de baixa es multipliquen per 0,956 (baixen un 4,4 %); per 10 anys, \(e^{-0{,}45} \approx 0{,}64\), un 36 % menys d'odds. Ser soci actiu multiplica els odds de baixa per 0,30: els divideix per més de 3.
• Els valors p funcionen com sempre: aquí les tres variables són significatives.

El model també dona probabilitats individuals. Dos socis de perfil oposat:

• Soci de 28 anys, inactiu, despesa 60 €/mes: \(\ln(odds) = 0{,}90 - 0{,}045(28) - 0{,}006(60) = -0{,}72\), per tant \(p = \frac{1}{1+e^{0{,}72}} \approx 0{,}33\). Un 33 % de probabilitat de baixa: candidat clar a una campanya de retenció.
• Sòcia de 52 anys, activa, despesa 150 €/mes: \(\ln(odds) = 0{,}90 - 2{,}34 - 0{,}90 - 1{,}20 = -3{,}54\), per tant \(p \approx 0{,}03\). Un 3 %: no gastis pressupost de retenció en ella.

Aquesta és exactament l'aplicació de negoci: ordenar els 380.000 socis per probabilitat de baixa i concentrar la campanya en el tram alt de la llista.

Les dues tècniques restants no prediuen res: exploren. L'anàlisi de components principals (ACP o PCA) respon aquesta pregunta: tinc moltes variables correlacionades entre si; puc resumir-les en unes poques variables noves perdent la mínima informació possible?

Conceptualment: l'ACP construeix components — combinacions de les variables originals — de manera que la primera capturi la màxima variància possible de les dades, la segona la major part del que queda (sent independent de la primera), i així successivament. Si les variables originals estan molt correlacionades, dos o tres components basten per retenir el 70-90 % de la informació de deu o quinze variables.

Minicas: sobre 12 variables de comportament dels socis del Club Nova (despesa per categoria, nombre de visites, mida de cistella, ús del canal en línia, ús de cupons…), l'ACP retorna que dos components retenen el 78 % de la variància, i mirant quines variables pesen en cadascuna se'ls pot posar nom:

• Component 1, «volum de compra» (52 %): hi pesen la despesa total, la mida de cistella i la despesa en frescos i rebost.
• Component 2, «digitalitat» (26 %): hi pesen l'ús del canal en línia, els cupons a l'app i la freqüència de visites curtes.

Usos típics: visualitzar els socis en un pla (component 1 vs component 2) en lloc de en 12 dimensions impossibles de dibuixar, i substituir grups de variables bessones per una component — el remei sistemàtic a la multicol·linealitat. El preu: les components són constructes, i la seva interpretació («digitalitat») la posa l'analista, no les matemàtiques.

L'última pregunta és diferent: existeixen grups naturals de socis que s'assemblin entre si i es diferenciïn dels altres? Ningú no ha etiquetat res per endavant — no és predir una resposta coneguda, és descobrir estructura. Això és el clustering o anàlisi de conglomerats, i el seu algorisme més popular és k-means: l'analista fixa el nombre de grups \(k\), i l'algorisme assigna cada soci al grup de centre més proper i recalcula els centres, iterant fins a estabilitzar-se. Cada grup queda descrit pel seu centroide (el soci «mitjà» del grup).

L'equip de NovaMarket va segmentar els 380.000 socis del Club Nova amb k-means i \(k = 3\). La teva feina és interpretar el resultat:

Lectura de negoci: la despesa mitjana global (126,40 €) amaga tres realitats molt diferents; la baixa del 14 % global està impulsada gairebé del tot pel clúster 3 — que connecta amb el que la regressió logística ja assenyalava (joves, inactius, despesa baixa). Cada clúster demana una acció diferent: fidelitzar els frescos a l'1, empènyer l'app al 2, campanya de retenció urgent al 3.

Dos advertiments conceptuals: l'elecció de \(k\) no la donen les dades soles (hi ha criteris orientatius, però hi pesa el judici de negoci: tres segments accionables o set d'impossibles de gestionar?); i k-means treballa amb distàncies, així que les variables s'han d'estandarditzar abans (recorda les puntuacions z del Mòdul 2) — si no, la variable de més escala (la despesa en euros) dominaria la segmentació tota sola.

• Llegir coeficients de regressió múltiple sense la clàusula «a igualtat de la resta». Dir «cada m² aporta 31,2 €» a seques convida a comparar-lo malament amb el 37,7 del model simple; són respostes a preguntes diferents.
• Presumir de R² a base d'apilar variables. Compara models amb el R² ajustat, i desconfia de models amb molts predictors i poques dades.
• Interpretar coeficients individuals amb multicol·linealitat severa. Si dos predictors són gairebé bessons, els seus coeficients separats no són fiables encara que el model predigui bé.
• Oblidar la categoria de referència amb variables fictícies. Cada coeficient dummy és una diferència respecte a la referència, no una mitjana del grup.
• Llegir els coeficients logístics com a probabilitats. Un coeficient de −1,20 no significa «−120 % de probabilitat»: actua sobre el logaritme dels odds; converteix-lo a odds ratio (\(e^{-1{,}20} = 0{,}30\)) o calcula probabilitats per a perfils concrets.
• Creure que els clústers «existeixen». k-means sempre retorna \(k\) grups, hi hagi o no estructura real; valida que els segments siguin estables i accionables abans de muntar-hi campanyes.
• Confondre predicció amb causalitat. Tot l'anterior és associació observacional; per afirmar que canviar el trànsit de vianants (o activar un soci) causa més vendes o menys baixes, caldria un experiment — d'això en parlarem a les aplicacions del Mòdul 8.

L'equip d'expansió avalua un local a Sevilla de 1.100 m², en un carrer amb 14.000 vianants/dia i renda de zona de 24.000 €/any. Amb el model \(\hat{y} = -4{,}10 + 0{,}0312,x_1 + 0{,}85,x_2 + 0{,}42,x_3\) (x₂ i x₃ en milers), calcula la venda diària prevista. És aquesta predicció més o menys fiable que la que vam fer per a Alicante amb el model simple? Per què?

En el model logístic de baixa del Club Nova, un company afirma: «la despesa mensual gairebé no importa: el seu coeficient és −0,006, ridícul al costat del −1,20 de l'activitat». Avalua l'afirmació calculant l'odds ratio associat a una diferència de 100 € de despesa mensual, i explica per què comparar coeficients en brut és enganyós.

La Marta et reenvia la taula dels 3 clústers i pregunta: «en quin segment inverteixo primer el pressupost de retenció i què li ofereixo?» Respon fent servir la taula, i afegeix-hi una comprovació estadística de mòduls anteriors amb què verificaries que la diferència de taxes de baixa entre clústers no és fruit de l'atzar.

Exercici 1.

\(\hat{y} = -4{,}10 + 0{,}0312 \times 1100 + 0{,}85 \times 14 + 0{,}42 \times 24 = -4{,}10 + 34{,}32 + 11{,}90 + 10{,}08 = 52{,}2\) milers de € ≈ 52.200 €/dia. És en principi més fiable que la predicció d'Alicante del model simple: el R² ajustat és més gran (0,905 vs 0,862) i el model separa l'efecte del trànsit, que a Alicante quedava incrustat en la superfície. Però amb dos matisos: els valors de Sevilla han d'estar dins del rang observat a les 42 botigues (res d'extrapolar), i la variable renda aporta poc (p = 0,238) — amb el model sense renda la predicció amb prou feines canviaria. Error freqüent: oblidar que x₂ i x₃ entren en milers i multiplicar per 14.000 i 24.000, cosa que dona xifres desbaratades; comprova sempre les unitats de cada variable abans de substituir.

Exercici 2.

L'afirmació confon magnitud del coeficient amb importància: els coeficients depenen de les unitats. El −0,006 és per euro; una diferència realista entre socis és de desenes o centenars d'euros. Per a 100 €: \(e^{-0{,}006 \times 100} = e^{-0{,}6} \approx 0{,}55\) — un soci que gasta 100 € més al mes té gairebé la meitat d'odds de baixa, un efecte comparable al de l'activitat (\(0{,}30\)). Error freqüent: comparar coeficients de variables mesurades en escales diferents (anys, euros, dummy 0/1) com si fossin commensurables; compara sempre odds ratios associats a diferències realistes de cada variable.

Exercici 3.

Primer el clúster 3 («Ocasionals en risc»): concentra la taxa de baixa més alta (27 %, gairebé el doble de la mitjana del 14 %) i és on una millora té més recorregut; són joves, inactius i de despesa baixa, així que l'oferta natural ataca l'activació (avantatges a l'app, cupons de recompra, enviament en línia bonificat) més que no pas el descompte indiscriminat. Comprovació estadística: una khi quadrat d'independència (06-04) sobre la taula clúster × baixa/no baixa — amb aquestes mides mostrals la significació està garantida, així que acompanya-la d'una mesura de mida de l'efecte (V de Cramér) i dels residus tipificats per localitzar on hi ha l'excés de baixes. Error freqüent: triar el clúster 2 «perquè té més socis»; el volum importa, però la decisió de retenció es pren per risc i per marge de millora, no per mida del segment.

Has fet el salt d'una a diverses variables: la regressió múltiple separa efectes que viatjaven barrejats (i va rehabilitar Cuenca: el seu dèficit era de trànsit de vianants, no de gestió), la sortida del programari es llegeix columna a columna amb les eines d'inferència que ja dominaves, el R² ajustat protegeix contra la temptació d'apilar variables, les variables fictícies incorporen categòriques (i van revelar l'ANOVA com a cas particular de regressió), la logística trasllada tot l'esquema a respostes sí/no via odds, i ACP i k-means exploren estructura sense variable resposta — amb els tres segments del Club Nova com a resultat accionable.

Però tot aquest edifici — com la t, l'ANOVA o els intervals de la regressió — continua recolzat en supòsits distribucionals: normalitat dels residus, mostres raonablement grans, absència d'atípics salvatges. I quan les dades es neguen a cooperar — vuit observacions, escales ordinals de satisfacció, un atípic que ho distorsiona tot? Per a això existeix una família de proves que renuncien als supòsits a canvi de treballar amb rangs: els Mètodes No Paramètrics, amb què tancarem el mòdul.