Les mesures de dispersió són estadístiques que descriuen la variabilitat o dispersió dels valors d'un conjunt de dades. Aquestes mesures proporcionen informació sobre com els valors es distribueixen al voltant d'una mesura de tendència central, com la mitjana o la mediana. Les mesures de dispersió més comunes són la desviació estàndard, la variància, el rang i l'interval interquartílic.
Conceptes Clau
- Rang
El rang és la diferència entre el valor màxim i el valor mínim d'un conjunt de dades.
Càlcul del Rang: \[ \text{Rang} = \text{Valor màxim} - \text{Valor mínim} \]
Exemple: Si tenim les dades: 3, 7, 8, 15, 19 \[ \text{Rang} = 19 - 3 = 16 \]
- Variància
La variància mesura la mitjana dels quadrats de les desviacions dels valors respecte a la mitjana del conjunt de dades.
Càlcul de la Variància (per a una mostra): \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
On:
- \( s^2 \) és la variància de la mostra.
- \( n \) és el nombre de valors en la mostra.
- \( x_i \) és cada valor individual.
- \( \bar{x} \) és la mitjana de la mostra.
Exemple: Si tenim les dades: 4, 8, 6, 5, 3 \[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = 5.2 \] \[ s^2 = \frac{1}{5-1} [(4-5.2)^2 + (8-5.2)^2 + (6-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + (3-5.2)^2] \] \[ s^2 = \frac{1}{4} [1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84] \] \[ s^2 = \frac{1}{4} \times 14.8 = 3.7 \]
- Desviació Estàndard
La desviació estàndard és la mesura de dispersió més utilitzada i és l'arrel quadrada de la variància. Proporciona una mesura de la dispersió en les mateixes unitats que les dades originals.
Càlcul de la Desviació Estàndard: \[ s = \sqrt{s^2} \]
Exemple: Utilitzant la variància calculada anteriorment: \[ s = \sqrt{3.7} \approx 1.92 \]
- Interval Interquartílic (IQR)
L'interval interquartílic és la diferència entre el tercer quartil (Q3) i el primer quartil (Q1) d'un conjunt de dades. Mesura la dispersió del 50% central dels valors.
Càlcul de l'IQR: \[ \text{IQR} = Q3 - Q1 \]
Exemple: Si tenim les dades: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 \[ Q1 = 3 \] \[ Q3 = 11 \] \[ \text{IQR} = 11 - 3 = 8 \]
Exercicis Pràctics
Exercici 1
Calcula el rang, la variància i la desviació estàndard per al següent conjunt de dades: 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16.
Solució:
-
Rang: \[ \text{Rang} = 23 - 10 = 13 \]
-
Mitjana: \[ \bar{x} = \frac{10 + 12 + 23 + 23 + 16 + 23 + 21 + 16}{8} = 18 .0 \]
-
Variància: \[ s^2 = \frac{1}{8-1} [(10-18)^2 + (12-18)^2 + (23-18)^2 + (23-18)^2 + (16-18)^2 + (23-18)^2 + (21-18)^2 + (16-18)^2] \] \[ s^2 = \frac{1}{7} [64 + 36 + 25 + 25 + 4 + 25 + 9 + 4] \] \[ s^2 = \frac{1}{7} \times 192 = 27.43 \]
-
Desviació Estàndard: \[ s = \sqrt{27.43} \approx 5.24 \]
Exercici 2
Calcula l'interval interquartílic (IQR) per al següent conjunt de dades: 5, 7, 8, 12, 14, 18, 21, 24, 30.
Solució:
-
Ordena les dades: \[ 5, 7, 8, 12, 14, 18, 21, 24, 30 \]
-
Calcula Q1 i Q3: \[ Q1 = 8 \] \[ Q3 = 24 \]
-
IQR: \[ \text{IQR} = 24 - 8 = 16 \]
Resum
En aquesta secció hem après sobre les mesures de dispersió, incloent el rang, la variància, la desviació estàndard i l'interval interquartílic. Aquestes mesures ens ajuden a comprendre la variabilitat dels nostres conjunts de dades i són fonamentals per a l'anàlisi estadística. Hem vist com calcular cadascuna d'aquestes mesures amb exemples pràctics i hem proporcionat exercicis per reforçar els conceptes apresos.