En tancar el mòdul anterior va quedar un advertiment a l'aire: gairebé totes les eines vistes fins ara — intervals, contrastos, regressió, ANOVA — descansen sobre un supòsit silenciós, el que diu que les observacions són independents entre si. Però quan les dades són les vendes de cada setmana, una darrere l'altra, aquest supòsit se'n va en orris: la setmana de Nadal s'assembla al Nadal de l'any passat, un dilluns s'assembla a un altre dilluns, i una bona setmana sol venir seguida d'una altra de bona. En aquesta lliçó aprendràs a treballar amb dades ordenades en el temps: a descompondre-les en tendència, estacionalitat i soroll, a suavitzar-les amb mitjanes mòbils, a construir prediccions senzilles i a mesurar quant t'equivoques quan predius. El cas que guiarà tota la lliçó és real a NovaMarket: la Marta necessita una previsió de vendes de l'e-commerce per dimensionar la campanya de Nadal — quant estoc demanar, quants repartidors reforçar, quant pressupost de publicitat assignar.

1. Què és una sèrie temporal i per què trenca la independència
2. Els components d'una sèrie: tendència, estacionalitat, cicle i irregular
3. Descomposició additiva vs multiplicativa
4. Mitjanes mòbils: suavitzar per veure la tendència
5. Índexs d'estacionalitat amb les vendes en línia de NovaMarket
6. Allisat exponencial simple
7. Predicció: del mètode naïf a tendència + estacionalitat
8. Avaluar la predicció: MAE i MAPE
9. Autocorrelació: la memòria de la sèrie

Una sèrie temporal és una successió d'observacions de la mateixa variable preses en instants de temps consecutius i, normalment, equiespaiats: vendes diàries, reclamacions setmanals, facturació trimestral. Ja vam distingir a la lliçó de tipus de dades entre dades transversals (moltes unitats en un mateix moment: les 42 botigues avui) i longitudinals (la mateixa unitat al llarg del temps: les vendes en línia de NovaMarket trimestre a trimestre). Aquesta lliçó és la maquinària promesa per a les segones.

Per què no serveixen sense més les eines dels mòduls 5 i 6? Perquè en una sèrie temporal:

• Les observacions s'assemblen a les seves veïnes. Si les vendes en línia d'aquesta setmana han estat altes, el més probable és que les de la setmana vinent també ho siguin. Això és dependència, i els contrastos t o z assumeixen justament el contrari.
• L'ordre importa. En una mostra de tiquets podies barrejar les dades sense perdre res; en una sèrie, barrejar-les destrueix la informació principal (l'evolució).
• La mitjana pot no existir com a concepte útil. Què significa «la venda trimestral mitjana» d'una sèrie que creix un 10 % l'any? És un nombre que no descriu ni el passat llunyà ni el present.

La conseqüència pràctica: en lloc d'estimar un paràmetre fix, l'objectiu passa a ser entendre l'estructura temporal (quina part és tendència, quina part és estacional, quina part és soroll) i fer-la servir per predir.

La manera clàssica de pensar una sèrie és descompondre-la en quatre components:

Dos matisos importants:

• Estacionalitat ≠ cicle. L'estacionalitat té període fix (cada quart trimestre, cada dilluns); el cicle no (una expansió econòmica pot durar 4 anys o 8). Amb sèries curtes, com les que farem servir, el cicle amb prou feines es pot separar de la tendència i se sol tractar juntament amb ella (component tendència-cicle).
• L'estacionalitat no és «dolenta». És informació valuosíssima: que el T4 vengui un 29 % més que un trimestre normal (ho calcularem de seguida) és exactament el que la Marta necessita per dimensionar la campanya.

Com es combinen els components? Hi ha dos models clàssics:

\[ \text{Additiu:} \quad y_t = T_t + S_t + I_t \]

\[ \text{Multiplicatiu:} \quad y_t = T_t \times S_t \times I_t \]

Criteri d'elecció (mira sempre el gràfic de la sèrie):

• Si les oscil·lacions estacionals tenen amplitud constant en euros encara que la sèrie creixi (cada Nadal suma «+1 milió» fix), el model és additiu: l'estacionalitat es mesura en les unitats de la sèrie.
• Si les oscil·lacions creixen amb el nivell de la sèrie (cada Nadal la sèrie puja «un 29 %», que són més euros com més gran és el negoci), el model és multiplicatiu: l'estacionalitat es mesura com a percentatge o índex.

En vendes d'empresa el més habitual és el segon cas — l'efecte Nadal escala amb la mida del negoci —, així que treballarem el cas NovaMarket en versió multiplicativa. La lògica de càlcul és idèntica en totes dues: s'estima la tendència, es compara la sèrie amb ella (restant en l'additiu, dividint en el multiplicatiu) i allò que es repeteix periòdicament és l'estacionalitat.

L'eina més simple per estimar la tendència és la mitjana mòbil: substituir cada dada per la mitjana d'una finestra de \(k\) observacions centrada en ella. En fer la mitjana, el soroll (i l'estacionalitat, si la finestra abasta un període complet) es cancel·la i queda el senyal de fons.

\[ MM_k(t) = \frac{y_{t-\frac{k-1}{2}} + \dots + y_t + \dots + y_{t+\frac{k-1}{2}}}{k} \]

Les vendes en línia de NovaMarket de les últimes 7 setmanes (milers de €):

La sèrie puja, però a batzegades: la setmana 2 va ser «dolenta» o només soroll? Calculem la mitjana mòbil d'ordre 3 (la mitjana de cada setmana amb l'anterior i la posterior):

• \(MM_3(2) = \dfrac{310 + 295 + 330}{3} = \dfrac{935}{3} = 311{,}7\)
• \(MM_3(3) = \dfrac{295 + 330 + 315}{3} = \dfrac{940}{3} = 313{,}3\)
• \(MM_3(4) = \dfrac{330 + 315 + 350}{3} = \dfrac{995}{3} = 331{,}7\)
• \(MM_3(5) = \dfrac{315 + 350 + 340}{3} = \dfrac{1005}{3} = 335{,}0\)
• \(MM_3(6) = \dfrac{350 + 340 + 365}{3} = \dfrac{1055}{3} = 351{,}7\)

La sèrie suavitzada — 311,7; 313,3; 331,7; 335,0; 351,7 — explica una història neta: creixement sostingut d'uns 10.000 € setmanals, sense les dents de serra de la dada bruta. Observacions pràctiques:

• Es perden els extrems: no hi ha mitjana mòbil per a les setmanes 1 i 7 (falten veïns). Com més gran és \(k\), més se'n perd.
• Com més gran és \(k\), més suau però més lenta a reaccionar davant canvis reals. És el mateix dilema biaix-reactivitat que reapareixerà en l'allisat exponencial.
• Si hi ha estacionalitat, la finestra ha de cobrir un període complet: per a dades trimestrals, ordre 4; per a diàries amb patró setmanal, ordre 7. Amb ordre parell (4, 12) la mitjana mòbil queda «entre» dos períodes i es centra fent la mitjana de dues mitjanes mòbils consecutives — ho veuràs a l'exemple següent.

Anem al cas de la Marta. Les vendes trimestrals de l'e-commerce dels dos últims anys (milions de €):

Es veu a simple vista: cada T4 es dispara (Nadal) i cada T3 afluixa (estiu), sobre una tendència creixent. Quantifiquem-ho.

Pas 1. Mitjana mòbil d'ordre 4 (un any complet, perquè l'estacionalitat es cancel·li):

• \(t=1\text{–}4:; (4{,}2+4{,}0+3{,}8+6{,}0)/4 = 4{,}50\)
• \(t=2\text{–}5:; (4{,}0+3{,}8+6{,}0+4{,}6)/4 = 4{,}60\)
• \(t=3\text{–}6:; (3{,}8+6{,}0+4{,}6+4{,}4)/4 = 4{,}70\)
• \(t=4\text{–}7:; (6{,}0+4{,}6+4{,}4+4{,}2)/4 = 4{,}80\)
• \(t=5\text{–}8:; (4{,}6+4{,}4+4{,}2+6{,}6)/4 = 4{,}95\)

Pas 2. Centrar (cada mitjana d'ordre 4 cau «entre» dos trimestres; se'n fa la mitjana de dues en dues per alinear-les amb un trimestre concret):

Pas 3. Índexs d'estacionalitat. Amb més anys, es farien les mitjanes de les raons de cada trimestre; aquí en tenim una per trimestre i les prenem directament (comprovant que sumen ≈ 4, és a dir, que fan una mitjana d'1 — aquí sumen 3,996, ajust menyspreable):

Aquest 1,29 és or per a la Marta: sigui quin sigui el nivell del negoci, el quart trimestre ven al voltant d'un 29 % més que la tendència. La sèrie desestacionalitzada (\(y_t / S_t\)) serveix per respondre una altra pregunta habitual: el T4 va ser bo més enllà del fet que fos Nadal? Per exemple, T4-2025 desestacionalitzat: \(6{,}6 / 1{,}29 = 5{,}12\), en línia amb la tendència — va ser un bon Nadal, però no excepcional.

La mitjana mòbil dona el mateix pes a totes les dades de la finestra i ignora les de fora. L'allisat exponencial simple fa una cosa més elegant: fa la mitjana de tota la història, però amb pesos que decauen geomètricament — el que és recent pesa molt, el que és antic gairebé gens. La seva fórmula recursiva és senzillíssima:

\[ S_t = \alpha , y_t + (1-\alpha) , S_{t-1} \]

on \(S_t\) és el valor suavitzat en \(t\) i \(\alpha \in (0,1)\) la constant d'allisat: amb \(\alpha\) alta (0,7) el suavitzat reacciona ràpid però suavitza poc; amb \(\alpha\) baixa (0,1) suavitza molt però triga a assabentar-se dels canvis. Valors entre 0,1 i 0,3 són un punt de partida habitual.

Dos passos a mà amb les vendes setmanals anteriors, prenent \(\alpha = 0{,}3\) i arrencant amb \(S_1 = y_1 = 310\):

• \(S_2 = 0{,}3 \times 295 + 0{,}7 \times 310 = 88{,}5 + 217{,}0 = 305{,}5\)
• \(S_3 = 0{,}3 \times 330 + 0{,}7 \times 305{,}5 = 99{,}0 + 213{,}9 = 312{,}9\)
• \(S_4 = 0{,}3 \times 315 + 0{,}7 \times 312{,}9 = 94{,}5 + 219{,}0 = 313{,}5\)

Com a predicció, l'allisat simple proposa \(\hat{y}_{t+1} = S_t\): «demà, com el suavitzat d'avui». És adequat per a sèries sense tendència ni estacionalitat clares (per exemple, la demanda setmanal d'un producte de rebost madur). Per a sèries amb tendència i estacionalitat hi ha extensions (allisat doble de Holt, triple de Holt-Winters) que no desenvoluparem: queda't amb la idea que afegeixen equacions anàlogues per al pendent i per als índexs estacionals.

La predicció naïf (ingènua) és: «el pròxim valor serà igual que l'últim observat»; en la versió estacional: «el pròxim T4 serà igual que l'últim T4». Sembla una broma, però és el punt de referència honest: qualsevol mètode sofisticat que no superi el naïf no està aportant res.

• Naïf estacional per a T4-2026: \(\hat{y} = 6{,}6\) milions (el que va vendre el T4-2025).

Un mètode millor combina el que ja hem calculat:

1. Estimar la tendència amb les mitjanes mòbils centrades: van passar de 4,55 a 4,875 en 3 trimestres, és a dir, creixen uns \((4{,}875-4{,}55)/3 \approx 0{,}11\) milions per trimestre.
2. Extrapolar la tendència fins al trimestre a predir. L'última mitjana centrada (4,875) correspon al T2-2025; fins al T4-2026 hi ha 6 trimestres: \(T \approx 4{,}875 + 6 \times 0{,}11 = 5{,}53\).
3. Aplicar l'índex estacional: \(\hat{y}_{T4\text{-}2026} = 5{,}53 \times 1{,}29 \approx 7{,}1\) milions de €.

La previsió per a la Marta: uns 7,1 milions de € al T4-2026, davant dels 6,6 del naïf. Mig milió de diferència que es tradueix directament en estoc, repartidors i pressupost de campanya. Convé acompanyar-la d'una forquilla — la lliçó d'intervals va ensenyar per què un nombre sol és una promesa temerària — i per a això necessitem mesurar l'error típic de predicció del mètode, que és justament l'apartat següent.

Com se sap si un mètode prediu bé? Es prediu un període que ja coneixem (reservat expressament) i es comparen prediccions amb realitat. Les dues mètriques més usades:

\[ MAE = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} |y_t - \hat{y}t| \qquad \qquad MAPE = \frac{100}{n}\sum{t=1}^{n} \frac{|y_t - \hat{y}_t|}{y_t} \]

• MAE (error absolut mitjà): «m'equivoco, de mitjana, en tants euros». En les unitats de la sèrie, fàcil de comunicar.
• MAPE (error percentual absolut mitjà): «m'equivoco, de mitjana, un tant per cent». Comparable entre sèries d'escala diferent; falla si hi ha valors reals propers a zero.

Comparem tots dos mètodes predint el 2025 amb la informació disponible a finals del 2024:

• Naïf: \(MAE = (0{,}4+0{,}4+0{,}4+0{,}6)/4 = 0{,}45\) milions; \(MAPE = (8{,}7% + 9{,}1% + 9{,}5% + 9{,}1%)/4 \approx 9{,}1%\).
• Tendència + estacionalitat: \(MAE = (0{,}10+0{,}05+0{,}10+0{,}10)/4 \approx 0{,}09\) milions; \(MAPE \approx 1{,}8%\).

El mètode amb estructura redueix l'error d'un 9 % a menys d'un 2 %: sí que supera el llistó naïf, i amb marge. Aquest MAPE de l'1,8 % és a més la forquilla honesta amb què acompanyar la previsió: 7,1 milions ± un 2 % aproximadament, si el patró es manté.

L'autocorrelació és la correlació de la sèrie amb si mateixa desplaçada \(k\) períodes (el desplaçament s'anomena retard o lag): el coeficient \(r_k\) mesura, amb la mateixa escala de −1 a +1 del coeficient de Pearson que ja coneixes, com s'assembla \(y_t\) a \(y_{t-k}\).

La seva lectura és un diagnòstic exprés de l'estructura temporal:

Dos exemples a NovaMarket:

• En les reclamacions diàries, \(r_7 = 0{,}81\): cada dilluns s'assembla als dilluns anteriors — és la signatura numèrica del pic de dilluns (32 de les 100 reclamacions setmanals) que vam descobrir amb la khi quadrat de bondat d'ajust.
• En les vendes trimestrals en línia, \(r_4\) és alt: la signatura de l'estacionalitat anual que acabem de quantificar.

L'autocorrelació té un segon ús, de control de qualitat: els residus d'un bon model de predicció no haurien de tenir autocorrelació (si en tenen, queda estructura sense explotar). Sobre aquesta idea es construeix tota una família de models — els ARIMA — que modelen la sèrie directament a partir de les seves autocorrelacions; són el «següent nivell» després d'aquest curs i aquí n'hi ha prou que et soni el nom: quan el programari t'ofereixi un ARIMA, ja saps quina pregunta respon.

• Comparar períodes sense desestacionalitzar. «Les vendes del T3 van caure un 30 % respecte al T2, crisi!» No: el T3 sempre està un 16,5 % per sota. Compara amb el mateix trimestre de l'any anterior o desestacionalitza abans d'alarmar-te (o de celebrar-ho).
• Aplicar t, z o regressió ordinària a dades temporals sense pensar-hi. La dependència entre observacions invalida els valors p calculats com si fossin independents: solen sortir «massa significatius».
• Extrapolar la tendència molt lluny. Prolongar la recta 2 trimestres és raonable; prolongar-la 5 anys és ciència-ficció. És el mateix perill d'extrapolació que vam veure en regressió, agreujat perquè les tendències de negoci canvien.
• Confondre cicle amb estacionalitat. Si el període no és fix i conegut, no és estacionalitat i no es pot capturar amb índexs estacionals.
• Triar el mètode més complex per defecte. Calcula sempre primer l'error del naïf; si el teu mètode no el bat en MAE/MAPE sobre dades que no ha vist, no el facis servir.
• Avaluar l'error sobre les mateixes dades usades per ajustar. És fer-se trampes al solitari: reserva els últims períodes i prediu-los «a cegues», com hem fet amb el 2025.

Les unitats venudes de torró (milers) en les últimes 5 setmanes a Madrid-Centro van ser: 12, 18, 15, 21, 24. Calcula la mitjana mòbil d'ordre 3 i comenta què mostra.

Amb els índexs estacionals calculats a la lliçó (T1: 0,968; T2: 0,903; T3: 0,835; T4: 1,290) i la tendència extrapolada, la Marta et demana la previsió de vendes en línia per al T3-2026. L'última mitjana mòbil centrada era 4,875 (al T2-2025) i la tendència creix 0,11 milions per trimestre. Calcula la previsió i compara-la amb la del naïf estacional (T3-2025 = 4,2).

Dos mètodes van predir els lliuraments diaris de l'última setmana. Els errors absoluts del mètode A van ser 12, 8, 15, 10, 5 comandes; els del mètode B, 2, 3, 40, 2, 3. Calcula el MAE de cadascun, decideix amb quin et quedaries i justifica quin matís important revela mirar els errors un a un.

Exercici 1.

• \(MM_3(2) = (12+18+15)/3 = 15{,}0\)
• \(MM_3(3) = (18+15+21)/3 = 18{,}0\)
• \(MM_3(4) = (15+21+24)/3 = 20{,}0\)

La sèrie suavitzada (15, 18, 20) mostra un creixement net d'unes 2.500 unitats setmanals: la campanya nadalenca del torró està arrencant. Error freqüent: calcular la mitjana mòbil «cap enrere» (setmanes 1-2-3 assignada a la setmana 3) — és vàlid per a monitoratge en temps real, però la versió centrada estima millor la tendència; sigui quina sigui la convenció, cal declarar-la i mantenir-la.

Exercici 2.

De T2-2025 a T3-2026 hi ha 5 trimestres: tendència \(\approx 4{,}875 + 5 \times 0{,}11 = 5{,}425\). Aplicant l'índex del T3: \(\hat{y} = 5{,}425 \times 0{,}835 \approx 4{,}53\) milions. El naïf estacional diria 4,2 (repetir el T3-2025); el mètode amb estructura hi afegeix el creixement tendencial: uns 330.000 € més. Error freqüent: oblidar aplicar l'índex estacional i lliurar 5,43 com a previsió — sobreestimaries l'estiu en més d'un 19 %; l'ordre correcte és sempre tendència primer, índex després.

Exercici 3.

\(MAE_A = (12+8+15+10+5)/5 = 10\) comandes; \(MAE_B = (2+3+40+2+3)/5 = 10\) comandes. Empaten en MAE, però són mètodes molt diferents: A s'equivoca de manera moderada i estable; B l'encerta gairebé cada dia però un dia va fallar estrepitosament (un festiu que el mètode no preveu?). Per planificar repartidors dia a dia, B és millor si se'n corregeix el punt cec; si les fallades grans són costoses (SLA incomplert — recorda que un 13 % dels lliuraments ja surt fora de SLA), l'estabilitat d'A pot valer més. Moralitat: el MAE resumeix, però no substitueix mirar la distribució dels errors — la mateixa lliçó que la mitjana va aprendre de la mediana al Mòdul 2.

Has après a tractar les dades quan el temps entra en joc: descompondre una sèrie en tendència, estacionalitat, cicle i soroll; triar entre descomposició additiva i multiplicativa segons l'amplitud de les oscil·lacions; suavitzar amb mitjanes mòbils i allisat exponencial; construir una predicció amb tendència i índexs estacionals que va batre amb claredat el mètode naïf (MAPE de l'1,8 % davant del 9,1 %); i llegir l'autocorrelació com la «memòria» de la sèrie, amb els ARIMA apuntats com a següent nivell. La Marta ja té la seva xifra per a Nadal: uns 7,1 milions de € al T4-2026.

Però fixa't que tota la lliçó ha girat al voltant d'una sola variable avançant en el temps. A la pràctica, les preguntes de NovaMarket rarament són univariants: les vendes d'una botiga depenen alhora de la seva superfície, del trànsit de vianants del seu carrer i de la renda del barri; la baixa d'un soci del Club Nova depèn de la seva edat, la seva despesa i la seva activitat. Manejar diverses variables alhora — regressió múltiple, regressió logística, components principals, clústers — és el terreny de l'Anàlisi Multivariant.