Les proves d'hipòtesis són una eina fonamental en l'estadística inferencial que permeten als investigadors prendre decisions sobre poblacions basant-se en mostres de dades. Aquest procés implica formular una hipòtesi nul·la i una hipòtesi alternativa, i utilitzar dades mostral per determinar quina hipòtesi és més probable.

• Definició: És una afirmació que no hi ha efecte o diferència. És la hipòtesi que es vol posar a prova.
• Exemple: "El nou medicament no té efecte sobre la pressió arterial."

• Definició: És una afirmació que hi ha un efecte o diferència. És la hipòtesi que es considera si es rebutja la hipòtesi nul·la.
• Exemple: "El nou medicament redueix la pressió arterial."

• Definició: És la probabilitat de rebutjar la hipòtesi nul·la quan és certa. És un llindar predefinit per a la decisió.
• Valor Comú: 0.05 (5%)

• Definició: És una mesura calculada a partir de les dades mostral que s'utilitza per decidir si es rebutja la hipòtesi nul·la.
• Exemple: z, t, χ², F

• Definició: És la probabilitat de trobar un valor de l'estadístic de prova igual o més extrem que el valor observat, assumint que la hipòtesi nul·la és certa.
• Decisió: Si el valor p és menor que α, es rebutja la hipòtesi nul·la.

1. Formular les Hipòtesis:

   • H0: Hipòtesi nul·la
   • H1: Hipòtesi alternativa

2. Seleccionar el Nivell de Significació (α):

   • Comunament 0.05, però pot variar segons el context.

3. Recollir i Analitzar les Dades:

   • Calcular l'estadístic de prova corresponent.

4. Determinar el Valor p:

   • Comparar el valor p amb α.

5. Prendre una Decisió:

   • Si valor p ≤ α, rebutjar H0.
   • Si valor p > α, no rebutjar H0.

6. Interpretar els Resultats:

   • Explicar el significat de la decisió en el context de l'estudi.

Situació: Una empresa de begudes vol saber si la mitjana de contingut de sucre en les seves ampolles és diferent de 10 grams.

1. Formular les Hipòtesis:

   • H0: μ = 10 grams
   • H1: μ ≠ 10 grams

2. Seleccionar el Nivell de Significació (α):

   • α = 0.05

3. Recollir i Analitzar les Dades:

   • Mostra de 30 ampolles, mitjana mostral = 10.5 grams, desviació estàndard = 1 gram.

4. Calcular l'Estadístic de Prova:

   import scipy.stats as stats
   import math
   
   mu = 10
   x_bar = 10.5
   s = 1
   n = 30
   
   z = (x_bar - mu) / (s / math.sqrt(n))
   p_value = 2 * (1 - stats.norm.cdf(abs(z)))
   
   print(f'Estadístic de prova z: {z}')
   print(f'Valor p: {p_value}')
   

   Resultat:

   • Estadístic de prova z: 2.74
   • Valor p: 0.0062

5. Prendre una Decisió:

   • Com que el valor p (0.0062) és menor que α (0.05), rebutgem H0.

6. Interpretar els Resultats:

   • Hi ha evidència suficient per afirmar que la mitjana de contingut de sucre en les ampolles és diferent de 10 grams.

Situació: Un investigador vol saber si la mitjana de temps de resposta d'un nou sistema és menor que 5 segons. Es recullen dades de 25 proves amb una mitjana mostral de 4.8 segons i una desviació estàndard de 0.3 segons.

1. Formular les hipòtesis.
2. Seleccionar el nivell de significació (α).
3. Calcular l'estadístic de prova t.
4. Determinar el valor p.
5. Prendre una decisió.
6. Interpretar els resultats.

Solució:

1. H0: μ = 5 segons, H1: μ < 5 segons

2. α = 0.05

3. Estadístic de prova t:

   import scipy.stats as stats
   import math
   
   mu = 5
   x_bar = 4.8
   s = 0.3
   n = 25
   
   t = (x_bar - mu) / (s / math.sqrt(n))
   p_value = stats.t.cdf(t, df=n-1)
   
   print(f'Estadístic de prova t: {t}')
   print(f'Valor p: {p_value}')
   

   Resultat:

   • Estadístic de prova t: -3.33
   • Valor p: 0.0013

4. Com que el valor p (0.0013) és menor que α (0.05), rebutgem H0.

5. Hi ha evidència suficient per afirmar que la mitjana de temps de resposta del nou sistema és menor que 5 segons.

• Error Comú: Confondre la hipòtesi nul·la amb la hipòtesi alternativa.

  • Consell: Recorda que la hipòtesi nul·la és l'afirmació que es vol posar a prova i que normalment representa l'absència d'efecte o diferència.

• Error Comú: No calcular correctament l'estadístic de prova.

  • Consell: Assegura't d'utilitzar la fórmula correcta per a l'estadístic de prova segons el tipus de dades i la distribució.

• Error Comú: Interpretar incorrectament el valor p.

  • Consell: Recorda que el valor p és la probabilitat de trobar un valor de l'estadístic de prova igual o més extrem que el valor observat, assumint que la hipòtesi nul·la és certa.

En aquesta secció, hem après sobre les proves d'hipòtesis, incloent la formulació de les hipòtesi nul·la i alternativa, la selecció del nivell de significació, el càlcul de l'estadístic de prova i el valor p, i la presa de decisions basades en aquests valors. També hem vist un exemple pràctic i hem realitzat un exercici per reforçar els conceptes apresos.