Els intervals de confiança són una eina fonamental en la inferència estadística que permeten estimar un paràmetre de població amb un cert grau de confiança. En lloc de proporcionar un únic valor puntual, els intervals de confiança ofereixen un rang de valors dins del qual es creu que es troba el paràmetre de població.

Un interval de confiança és un rang de valors, derivat de les dades de mostra, que es creu que conté el valor del paràmetre de població amb un cert nivell de confiança.

El nivell de confiança és el percentatge de vegades que es creu que l'interval de confiança contindrà el paràmetre de població si es repetís l'experiment moltes vegades. Els nivells de confiança més comuns són el 90%, 95% i 99%.

L'error estàndard mesura la variabilitat de la distribució de la mitjana de la mostra. És essencial per calcular l'interval de confiança.

L'interval de confiança per a la mitjana de la població es calcula generalment com: \[ \bar{x} \pm Z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] on:

• \(\bar{x}\) és la mitjana de la mostra.
• \(Z\) és el valor crític de la distribució normal corresponent al nivell de confiança desitjat.
• \(\sigma\) és la desviació estàndard de la població.
• \(n\) és la mida de la mostra.

Suposem que tenim una mostra de 50 estudiants i la seva mitjana de puntuació en un examen és de 75 amb una desviació estàndard de 10. Volem calcular un interval de confiança del 95% per a la mitjana de la població.

1. Mitjana de la mostra (\(\bar{x}\)): 75
2. Desviació estàndard (\(\sigma\)): 10
3. Mida de la mostra (\(n\)): 50
4. Nivell de confiança: 95% (valor crític \(Z\) = 1.96)

\[ \text{Error estàndard} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{50}} = 1.41 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 75 \pm 1.96 \times 1.41 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 75 \pm 2.76 \]

\[ \text{Interval de confiança} = [72.24, 77.76] \]

Per tant, amb un 95% de confiança, la mitjana de la població es troba entre 72.24 i 77.76.

Suposem que en una enquesta de 200 persones, 120 responen afirmativament a una pregunta. Volem calcular un interval de confiança del 95% per a la proporció de la població que respon afirmativament.

1. Proporció de la mostra (\(p\)): 120/200 = 0.60
2. Mida de la mostra (\(n\)): 200
3. Nivell de confiança: 95% (valor crític \(Z\) = 1.96)

\[ \text{Error estàndard} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.60 \times 0.40}{200}} = 0.0346 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 0.60 \pm 1.96 \times 0.0346 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 0.60 \pm 0.0678 \]

\[ \text{Interval de confiança} = [0.5322, 0.6678] \]

Per tant, amb un 95% de confiança, la proporció de la població que respon afirmativament es troba entre 0.5322 i 0.6678.

Una empresa vol estimar la mitjana de les hores treballades per setmana pels seus empleats. Una mostra de 40 empleats mostra una mitjana de 38 hores amb una desviació estàndard de 5 hores. Calculeu un interval de confiança del 95% per a la mitjana de la població.

\[ \bar{x} = 38 \] \[ \sigma = 5 \] \[ n = 40 \] \[ Z = 1.96 \]

\[ \text{Error estàndard} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{40}} = 0.79 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 38 \pm 1.96 \times 0.79 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 38 \pm 1.55 \]

\[ \text{Interval de confiança} = [36.45, 39.55] \]

En una enquesta de 500 persones, 300 responen que estan satisfetes amb un producte. Calculeu un interval de confiança del 99% per a la proporció de la població que està satisfeta amb el producte.

\[ p = \frac{300}{500} = 0.60 \] \[ n = 500 \] \[ Z = 2.576 \]

\[ \text{Error estàndard} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.60 \times 0.40}{500}} = 0.0219 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 0.60 \pm 2.576 \times 0.0219 \]

\[ \text{Interval de confiança} = 0.60 \pm 0.0564 \]

\[ \text{Interval de confiança} = [0.5436, 0.6564] \]

Els intervals de confiança són una eina poderosa per fer inferències sobre els paràmetres de població basats en dades de mostra. Proporcionen un rang de valors possibles per al paràmetre amb un cert nivell de confiança, ajudant a prendre decisions informades en diverses àrees com negocis, ciències socials i ciències de la salut. Practicar el càlcul d'intervals de confiança amb diferents exemples i exercicis és essencial per dominar aquest concepte estadístic.