En aquest tema, explorarem les distribucions de probabilitat, que són fonamentals per a la comprensió de molts conceptes estadístics. Les distribucions de probabilitat descriuen com es distribueixen els valors d'una variable aleatòria. Aprendrem sobre les distribucions discretes i contínues, i veurem exemples pràctics de cadascuna.
Objectius d'Aprenentatge
- Entendre què és una distribució de probabilitat.
- Diferenciar entre distribucions discretes i contínues.
- Conèixer les distribucions de probabilitat més comunes.
- Aplicar distribucions de probabilitat a problemes pràctics.
Conceptes Clau
- Distribució de Probabilitat
Una distribució de probabilitat és una funció que descriu la probabilitat que una variable aleatòria prengui certs valors. Hi ha dos tipus principals de distribucions de probabilitat:
- Distribucions Discretes: Les variables aleatòries prenen valors específics i comptables.
- Distribucions Contínues: Les variables aleatòries poden prendre qualsevol valor dins d'un interval.
- Distribucions Discretes
Les distribucions discretes es caracteritzen per tenir un conjunt finit o comptable de valors possibles. Alguns exemples comuns inclouen:
- Distribució Binomial: Modela el nombre d'èxits en una seqüència de proves independents de Bernoulli.
- Distribució de Poisson: Modela el nombre d'esdeveniments que ocorren en un interval de temps fix o en una àrea fixa.
Exemple de Distribució Binomial
Suposem que llancem una moneda 10 vegades. La probabilitat d'obtenir cara en cada llançament és 0.5. La distribució binomial ens pot ajudar a determinar la probabilitat d'obtenir exactament 6 cares.
import scipy.stats as stats
# Paràmetres de la distribució binomial
n = 10 # nombre de proves
p = 0.5 # probabilitat d'èxit
# Probabilitat d'obtenir exactament 6 cares
probabilitat_6_cares = stats.binom.pmf(6, n, p)
print(f'Probabilitat d\'obtenir exactament 6 cares: {probabilitat_6_cares:.4f}')
- Distribucions Contínues
Les distribucions contínues es caracteritzen per tenir un conjunt infinit de valors possibles dins d'un interval. Alguns exemples comuns inclouen:
- Distribució Normal: També coneguda com a distribució de Gauss, és simètrica i té forma de campana.
- Distribució Exponencial: Modela el temps entre esdeveniments en un procés de Poisson.
Exemple de Distribució Normal
Suposem que les puntuacions d'un examen segueixen una distribució normal amb una mitjana de 70 i una desviació estàndard de 10. Podem calcular la probabilitat que una puntuació sigui inferior a 85.
import scipy.stats as stats
# Paràmetres de la distribució normal
mitjana = 70
desviacio_estandard = 10
# Probabilitat que una puntuació sigui inferior a 85
probabilitat_inferior_85 = stats.norm.cdf(85, mitjana, desviacio_estandard)
print(f'Probabilitat que una puntuació sigui inferior a 85: {probabilitat_inferior_85:.4f}')Exercicis Pràctics
Exercici 1: Distribució Binomial
Suposem que un fabricant produeix bombetes amb una probabilitat de defecte del 2%. Si es seleccionen 100 bombetes aleatòriament, quina és la probabilitat que exactament 3 siguin defectuoses?
Solució
# Paràmetres de la distribució binomial
n = 100 # nombre de proves
p = 0.02 # probabilitat d'èxit
# Probabilitat d'obtenir exactament 3 bombetes defectuoses
probabilitat_3_defectuoses = stats.binom.pmf(3, n, p)
print(f'Probabilitat d\'obtenir exactament 3 bombetes defectuoses: {probabilitat_3_defectuoses:.4f}')Exercici 2: Distribució Normal
Suposem que les alçades dels estudiants d'una universitat segueixen una distribució normal amb una mitjana de 170 cm i una desviació estàndard de 6 cm. Quina és la probabilitat que un estudiant mesuri més de 180 cm?
Solució
# Paràmetres de la distribució normal
mitjana = 170
desviacio_estandard = 6
# Probabilitat que un estudiant mesuri més de 180 cm
probabilitat_mes_180 = 1 - stats.norm.cdf(180, mitjana, desviacio_estandard)
print(f'Probabilitat que un estudiant mesuri més de 180 cm: {probabilitat_mes_180:.4f}')Resum
En aquesta secció, hem après sobre les distribucions de probabilitat, incloent les distribucions discretes i contínues. Hem vist exemples pràctics de distribucions binomials i normals, i hem aplicat aquests conceptes a problemes reals. Aquest coneixement és fonamental per a la comprensió de molts altres temes estadístics que veurem en els següents mòduls.